réseau du plan

Définition intuitive

Un réseau du plan est un motif de points régulièrement espacé qui se répète à l’infini dans deux directions indépendantes : le papier millimétré, les nœuds d’un grillage en sont des exemples. Il y a deux façons complémentaires de le voir. La première est algébrique : on part de deux vecteurs non colinéaires et l’on prend toutes leurs combinaisons à coefficients entiers ; le réseau est alors un sous-groupe de $\mathbb{R}^{2}$, libre de rang $2$, et le plan se pave par des copies translatées d’un même parallélogramme. La seconde est topologique et plus subtile : un réseau est exactement un sous-groupe discret de $\mathbb{R}^{2}$ qui engendre le plan.

Définition formelle

Un réseau de $\mathbb{R}^{2}$ est un sous-groupe additif $\Lambda\subseteq\mathbb{R}^{2}$ de la forme
$$\Lambda=\mathbb{Z}u\oplus\mathbb{Z}v=\bigl\{mu+nv\ :\ m,n\in\mathbb{Z}\bigr\},$$où $(u,v)$ est une base de $\mathbb{R}^{2}$. On dit que $(u,v)$ est une base du réseau, et le parallélogramme $\{su+tv : s,t\in[0,1[\}$ en est un domaine fondamental.

Théorème (caractérisation topologique). Un sous-groupe $\Lambda\subseteq\mathbb{R}^{2}$ est un réseau si et seulement s’il est discret (tout point de $\Lambda$ est isolé dans $\Lambda$) et engendre $\mathbb{R}^{2}$ comme espace vectoriel.

Changement de base. Deux bases $(u,v)$ et $(u',v')$ engendrent le même réseau si et seulement si la matrice de passage appartient à $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$, c’est-à-dire est entière de déterminant $\pm 1$. Le covolume $\mathrm{covol}(\Lambda)=|\det(u,v)|$, aire du domaine fondamental, ne dépend donc pas de la base choisie.

Exemples

1. $\mathbb{Z}^{2}$, le réseau carré, de covolume $1$ et de groupe d’automorphismes $D_4$ d’ordre $8$.
2. Le réseau hexagonal $\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}j$ avec $j=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$, vu dans $\mathbb{C}$ : c’est le réseau des entiers d’Eisenstein, de covolume $\frac{\sqrt3}{2}$ et de groupe d’automorphismes $D_6$ d’ordre $12$. C’est le seul réseau du plan admettant une symétrie d’ordre $6$, à similitude près.
3. Le réseau des entiers de Gauss $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ coïncide avec $\mathbb{Z}^{2}$ ; sa structure d’anneau explique que la multiplication par $\mathrm{i}$ en soit un automorphisme d’ordre $4$.
4. Les bases $\bigl((1,0),(0,1)\bigr)$ et $\bigl((1,0),(1,1)\bigr)$ engendrent le même réseau $\mathbb{Z}^{2}$, la matrice de passage $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ étant de déterminant $1$. En revanche $\bigl((2,0),(0,1)\bigr)$ engendre un sous-réseau strict, d’indice $2$.
5. Contre-exemple (rang 1). Le sous-groupe $\mathbb{Z}(1,0)$ est discret mais n’engendre pas $\mathbb{R}^{2}$ : ce n’est pas un réseau du plan, seulement un réseau de la droite $\mathbb{R}\times\{0\}$.
6. Contre-exemple (non discret). L’ensemble $\mathbb{Q}^{2}$ est un sous-groupe engendrant $\mathbb{R}^{2}$, mais il est dense : la seule condition d’engendrement ne suffit pas.