Racine de l’unité

Définition intuitive

Les racines $n$-ièmes de l’unité sont les nombres complexes qui redonnent $1$ lorsqu’on les élève à la puissance $n$. Géométriquement, ce sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, l’un d’eux étant $1$.

Définition formelle

Soit $n\geqslant 1$. Une racine $n$-ième de l’unité est un nombre $z\in\mathbb{C}$ tel que $z^{n}=1$. L’ensemble de ces racines est
$$\mu_n:=\bigl\{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi k/n}\ :\ 0\leqslant k\leqslant n-1\bigr\},$$que l’on note aussi parfois $\mathbb{U}_n$.

Proposition. $\mu_n$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^{*},\times)$, cyclique d’ordre $n$, engendré par $\zeta_n:=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$. Plus précisément, l’application $k\mapsto\zeta_n^{k}$ induit un isomorphisme
$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \mu_n .$$

Preuve. Le polynôme $X^{n}-1$ est de degré $n$ et premier avec sa dérivée $nX^{n-1}$, donc scindé à racines simples et ainsi $|\mu_n|=n$. La stabilité par produit et inverse est immédiate. Enfin $\zeta_n^{k}=1$ équivaut à $n\mid k$, donc $\zeta_n$ est d’ordre $n$ et engendre $\mu_n$. $\square$

Racines primitives. Une racine $n$-ième $\zeta$ est primitive si son ordre multiplicatif vaut exactement $n$, c’est-à-dire si elle engendre $\mu_n$. On a
$$\zeta_n^{k}\ \text{primitive}\iff \mathrm{pgcd}(k,n)=1 ,$$et il y en a donc exactement $\varphi(n)$, où $\varphi$ est l'indicatrice d’Euler. Le polynôme unitaire dont elles sont les racines est le $n$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_n$, de degré $\varphi(n)$, à coefficients entiers et irréductible sur $\mathbb{Q}$ ; d’où la factorisation
$$X^{n}-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(X).$$

Exemples

1. $\mu_1=\{1\}$, $\mu_2=\{1,-1\}$, $\mu_3=\{1,j,j^{2}\}$ avec $j=\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt3}{2}$, $\mu_4=\{1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\}$. Les racines primitives sont respectivement $1$ ; $-1$ ; $j$ et $j^{2}$ ; $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$.
2. Racines cinquièmes. $\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr)=\frac{\sqrt5-1}{4}$, ce qui rend le pentagone régulier constructible et fait apparaître l’inverse du nombre d’or : $\zeta_5+\zeta_5^{-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}$.