Polynôme cyclotomique

Définition

Soit $n\geqslant 1$. Le $n$-ième polynôme cyclotomique est
$$\Phi_n(X)=\prod_{\substack{1\leqslant k\leqslant n\\ \mathrm{pgcd}(k,n)=1}}\bigl(X-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi k/n}\bigr).$$

Trois propriétés fondamentales :

$$\textbf{(factorisation)}\qquad X^{n}-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(X);$$$$\textbf{(intégralité)}\qquad \Phi_n\in\mathbb{Z}[X];$$$$\textbf{(irréductibilité)}\qquad \Phi_n \text{ est irréductible sur } \mathbb{Q}.$$

Preuve de la factorisation. Chaque racines $n$-ième de l’unité a un ordre $d$ divisant $n$, et elle est alors racine primitive $d$-ième ; réciproquement toute racine primitive $d$-ième avec $d\mid n$ est racine $n$-ième. Le regroupement des $n$ racines simples de $X^{n}-1$ selon leur ordre donne l’identité. $\square$

Preuve de l’intégralité. Par récurrence forte sur $n$. Pour $n=1$, $\Phi_1=X-1$. Si $\Phi_d\in\mathbb{Z}[X]$ pour tout $d<n$ divisant $n$, posons $Q=\prod_{d\mid n,\ d<n}\Phi_d$, unitaire à coefficients entiers. La division euclidienne de $X^{n}-1$ par $Q$ dans $\mathbb{Z}[X]$ est licite car $Q$ est unitaire, et son quotient coïncide avec celui obtenu dans $\mathbb{C}[X]$, à savoir $\Phi_n$, par unicité de la division. $\square$

Irréductibilité (Gauss). Soit $\zeta$ une racine primitive $n$-ième et $f$ son polynôme minimal sur $\mathbb{Q}$, unitaire dans $\mathbb{Z}[X]$ et divisant $\Phi_n$. On montre que $\zeta^{p}$ est encore racine de $f$ pour tout premier $p\nmid n$ : sinon $\zeta^{p}$ annulerait le cofacteur $g=\Phi_n/f$, donc $\zeta$ annulerait $g(X^{p})$, d’où $f\mid g(X^{p})$ ; en réduisant modulo $p$ et en utilisant $\overline{g}(X^{p})=\overline{g}(X)^{p}$, on obtient que $\overline{f}$ et $\overline{g}$ ont un facteur commun, donc $X^{n}-\overline{1}$ aurait une racine multiple dans $\overline{\mathbb{F}_p}$ — impossible puisque $p\nmid n$ rend sa dérivée $nX^{n-1}$ première avec lui. En itérant, $\zeta^{k}$ est racine de $f$ pour tout $k$ premier à $n$, donc $\deg f\geqslant\varphi(n)$ et $f=\Phi_n$. $\square$

Exemples

1. Les premiers polynômes : $\Phi_1=X-1$, $\Phi_2=X+1$, $\Phi_3=X^{2}+X+1$, $\Phi_4=X^{2}+1$, $\Phi_5=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$, $\Phi_6=X^{2}-X+1$, $\Phi_8=X^{4}+1$, $\Phi_{12}=X^{4}-X^{2}+1$.
2. Cas premier. $\Phi_p(X)=\dfrac{X^{p}-1}{X-1}=1+X+\cdots+X^{p-1}$. Son irréductibilité se voit directement par le critère d’Eisenstein appliqué à $\Phi_p(X+1)$, dont tous les coefficients non dominants sont divisibles par $p$.