Racine de l’unité
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Revision 3971
9/6/2026, 8:05:54 AM · Ancient Tree
Added exercise "Racines carrées de l'unité"
linked exercisesSomme et produit des racines -èmes de l’unitéSomme et produit des racines -èmes de l’unité, Racines carrées de l’unité
Revision 3968
9/6/2026, 8:02:26 AM · Ancient Tree
Concept re-reviewed after edits
review stateReview needed after an editUp to date
Revision 3967
9/6/2026, 8:02:11 AM · Ancient Tree
Updated title, domain and review state
titleRacines de l’unitéRacine de l’unité
domainOtherGeneral algebra
review stateUp to dateReview needed after an edit
Revision 3841
9/4/2026, 5:21:49 PM · Sequoia
Concept reviewed
statusUsableReviewed
Revision 3840
9/4/2026, 5:21:46 PM · Sequoia
Updated text
Compare with revision 383912 changed lines
1
##### Définition intuitive2
Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les nombres complexes qui redonnent $1$ lorsqu'on les élève à la puissance $n$. Géométriquement, ce sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, l'un d'eux étant $1$.2
Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les [[nombres-complexes|nombres complexes]] qui redonnent $1$ lorsqu'on les élève à la puissance $n$. Géométriquement, ce sont les sommets d'un [[Polygone régulier|polygone régulier]] à $n$ côtés inscrit dans le [[cercle unité|cercle unité]], l'un d'eux étant $1$.3
4
5
##### Définition formelle6
Soit $n\geqslant 1$. Une *racine $n$-ième de l'unité* est un nombre $z\in\mathbb{C}$ tel que $z^{n}=1$. L'ensemble de ces racines est7
$$\mu_n:=\bigl\{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi k/n}\ :\ 0\leqslant k\leqslant n-1\bigr\},$$8
que l'on note aussi parfois $\mathbb{U}_n$.9
10
**Proposition.** $\mu_n$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^{*},\times)$, cyclique d'ordre $n$, engendré par $\zeta_n:=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$. Plus précisément, l'application $k\mapsto\zeta_n^{k}$ induit un isomorphisme10
**Proposition.** $\mu_n$ est un [[Sous-groupe|sous-groupe]] de $(\mathbb{C}^{*},\times)$, cyclique d'ordre $n$, [[groupe engendré|engendré]] par $\zeta_n:=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$. Plus précisément, l'application $k\mapsto\zeta_n^{k}$ induit un [[Isomorphisme de groupes|isomorphisme]]11
$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \mu_n .$$12
13
*Preuve.* Le polynôme $X^{n}-1$ est de degré $n$ et premier avec sa dérivée $nX^{n-1}$, donc scindé à racines simples et ainsi $|\mu_n|=n$. La stabilité par produit et inverse est immédiate. Enfin $\zeta_n^{k}=1$ équivaut à $n\mid k$, donc $\zeta_n$ est d'ordre $n$ et engendre $\mu_n$. $\square$13
*Preuve.* Le polynôme $X^{n}-1$ est de degré $n$ et premier avec sa dérivée $nX^{n-1}$, donc [[scindé à racines simples|scindé à racines simples]] et ainsi $|\mu_n|=n$. La stabilité par produit et inverse est immédiate. Enfin $\zeta_n^{k}=1$ équivaut à $n\mid k$, donc $\zeta_n$ est d'ordre $n$ et engendre $\mu_n$. $\square$14
15
**Racines primitives.** Une racine $n$-ième $\zeta$ est *primitive* si son ordre multiplicatif vaut exactement $n$, c'est-à-dire si elle engendre $\mu_n$. On a15
**Racines primitives.** Une racine $n$-ième $\zeta$ est *primitive* si son [[Ordre d'un élément d'un groupe|ordre multiplicatif]] vaut exactement $n$, c'est-à-dire si elle engendre $\mu_n$. On a16
$$\zeta_n^{k}\ \text{primitive}\iff \mathrm{pgcd}(k,n)=1 ,$$17
et il y en a donc exactement $\varphi(n)$. Le polynôme unitaire dont elles sont les racines est le $n$-ième [[polynôme cyclotomique|polynôme cyclotomique]] $\Phi_n$, de degré $\varphi(n)$, à coefficients entiers et irréductible sur $\mathbb{Q}$ ; d'où la factorisation17
et il y en a donc exactement $\varphi(n)$, où $\varphi$ est l'[[Indicatrice d'Euler|indicatrice d'Euler]]. Le polynôme [[polynôme unitaire|unitaire]] dont elles sont les racines est le $n$-ième [[polynôme cyclotomique|polynôme cyclotomique]] $\Phi_n$, de degré $\varphi(n)$, à coefficients entiers et [[Polynôme irréductible|irréductible]] sur $\mathbb{Q}$ ; d'où la factorisation18
$$X^{n}-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(X).$$19
20
##### Exemples21
22
1. $\mu_1=\{1\}$, $\mu_2=\{1,-1\}$, $\mu_3=\{1,j,j^{2}\}$ avec $j=\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt3}{2}$, $\mu_4=\{1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\}$. Les racines primitives sont respectivement $1$ ; $-1$ ; $j$ et $j^{2}$ ; $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$.23
2. **Racines cinquièmes.** $\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr)=\frac{\sqrt5-1}{4}$, ce qui rend le pentagone régulier constructible et fait apparaître l'inverse du nombre d'or : $\zeta_5+\zeta_5^{-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}$.23
2. **Racines cinquièmes.** $\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr)=\frac{\sqrt5-1}{4}$, ce qui rend le pentagone régulier [[Nombres constructibles|constructible]] et fait apparaître l'inverse du [[Nombre d'or|nombre d'or]] : $\zeta_5+\zeta_5^{-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}$.Revision 3839
9/4/2026, 5:18:19 PM · Sequoia
Concept marked usable
statusStubUsable
Revision 3838
9/4/2026, 5:18:02 PM · Sequoia
Updated title, text and aliases
titleracines de l’unitéRacines de l’unité
aliasesracines $n$-ième de l'unitéRacines $n$-ième de l'unité
Compare with revision 383211 changed lines
1
##### Définition intuitive2
Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les nombres complexes qui redonnent $1$ lorsqu'on les élève à la puissance $n$. Géométriquement, ce sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, l'un d'eux étant $1$.3
4
5
##### Définition formelle6
Soit $n\geqslant 1$. Une *racine $n$-ième de l'unité* est un $z\in\mathbb{C}$ tel que $z^{n}=1$. L'ensemble de ces racines est6
Soit $n\geqslant 1$. Une *racine $n$-ième de l'unité* est un nombre $z\in\mathbb{C}$ tel que $z^{n}=1$. L'ensemble de ces racines est7
$$\mu_n=\bigl\{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi k/n}\ :\ 0\leqslant k\leqslant n-1\bigr\}.$$7
$$\mu_n:=\bigl\{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi k/n}\ :\ 0\leqslant k\leqslant n-1\bigr\},$$8
que l'on note aussi parfois $\mathbb{U}_n$.8
9
**Proposition.** $\mu_n$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^{*},\times)$, cyclique d'ordre $n$, engendré par $\zeta_n=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$. Plus précisément, l'application $k\mapsto\zeta_n^{k}$ induit un isomorphisme10
**Proposition.** $\mu_n$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^{*},\times)$, cyclique d'ordre $n$, engendré par $\zeta_n:=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$. Plus précisément, l'application $k\mapsto\zeta_n^{k}$ induit un isomorphisme10
$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \mu_n .$$11
12
*Preuve.* Le polynôme $X^{n}-1$ est de degré $n$ et premier avec sa dérivée $nX^{n-1}$, donc scindé à racines simples : $|\mu_n|=n$. La stabilité par produit et inverse est immédiate. Enfin $\zeta_n^{k}=1$ équivaut à $n\mid k$, donc $\zeta_n$ est d'ordre $n$ et engendre $\mu_n$. $\square$13
*Preuve.* Le polynôme $X^{n}-1$ est de degré $n$ et premier avec sa dérivée $nX^{n-1}$, donc scindé à racines simples et ainsi $|\mu_n|=n$. La stabilité par produit et inverse est immédiate. Enfin $\zeta_n^{k}=1$ équivaut à $n\mid k$, donc $\zeta_n$ est d'ordre $n$ et engendre $\mu_n$. $\square$13
14
**Racines primitives.** Une racine $n$-ième $\zeta$ est *primitive* si son ordre multiplicatif vaut exactement $n$, c'est-à-dire si elle engendre $\mu_n$. On a15
$$\zeta_n^{k}\ \text{primitive}\iff \mathrm{pgcd}(k,n)=1 ,$$16
et il y en a donc exactement $\varphi(n)$. Le polynôme unitaire dont elles sont les racines est le $n$-ième [[polynôme cyclotomique|polynôme cyclotomique]] $\Phi_n$, de degré $\varphi(n)$, à coefficients entiers et irréductible sur $\mathbb{Q}$ ; d'où la factorisation17
$$X^{n}-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(X).$$18
19
##### Exemples20
21
1. $\mu_1=\{1\}$, $\mu_2=\{1,-1\}$, $\mu_3=\{1,j,j^{2}\}$ avec $j=\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt3}{2}$, $\mu_4=\{1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\}$. Les racines primitives sont respectivement $1$ ; $-1$ ; $j$ et $j^{2}$ ; $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$.22
2. **Racines cinquièmes.** $\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr)=\frac{\sqrt5-1}{4}$, ce qui rend le pentagone régulier constructible et fait apparaître le nombre d'or : $\zeta_5+\zeta_5^{-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}$.23
2. **Racines cinquièmes.** $\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr)=\frac{\sqrt5-1}{4}$, ce qui rend le pentagone régulier constructible et fait apparaître l'inverse du nombre d'or : $\zeta_5+\zeta_5^{-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}$.Revision 3832
9/4/2026, 5:07:13 PM · T.W
Added exercise "Premiers calcule sur $μ_n$."
linked exercisesNonePremiers calcule sur .
Revision 2793
8/29/2026, 9:24:25 PM · visitor
Updated aliases
aliasesNoneracines $n$-ième de l'unité
Revision 2791
8/29/2026, 9:22:19 PM · visitor
Updated text
Compare with revision 27902 changed lines
1
##### Définition intuitive2
Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les nombres complexes qui redonnent $1$ lorsqu'on les élève à la puissance $n$. Géométriquement, ce sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, l'un d'eux étant $1$.3
4
5
##### Définition formelle6
Soit $n\geqslant 1$. Une *racine $n$-ième de l'unité* est un $z\in\mathbb{C}$ tel que $z^{n}=1$. L'ensemble de ces racines est7
$$\mu_n=\bigl\{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi k/n}\ :\ 0\leqslant k\leqslant n-1\bigr\}.$$8
9
**Proposition.** $\mu_n$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^{*},\times)$, cyclique d'ordre $n$, engendré par $\zeta_n=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$. Plus précisément, l'application $k\mapsto\zeta_n^{k}$ induit un isomorphisme10
$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \mu_n .$$11
12
*Preuve.* Le polynôme $X^{n}-1$ est de degré $n$ et premier avec sa dérivée $nX^{n-1}$, donc scindé à racines simples : $|\mu_n|=n$. La stabilité par produit et inverse est immédiate. Enfin $\zeta_n^{k}=1$ équivaut à $n\mid k$, donc $\zeta_n$ est d'ordre $n$ et engendre $\mu_n$. $\square$13
14
**Racines primitives.** Une racine $n$-ième $\zeta$ est *primitive* si son ordre multiplicatif vaut exactement $n$, c'est-à-dire si elle engendre $\mu_n$. On a15
$$\zeta_n^{k}\ \text{primitive}\iff \mathrm{pgcd}(k,n)=1 ,$$16
et il y en a donc exactement $\varphi(n)$. Le polynôme unitaire dont elles sont les racines est le $n$-ième polynôme cyclotomique$\Phi_n$, de degré $\varphi(n)$, à coefficients entiers et irréductible sur $\mathbb{Q}$ ; d'où la factorisation16
et il y en a donc exactement $\varphi(n)$. Le polynôme unitaire dont elles sont les racines est le $n$-ième [[polynôme cyclotomique|polynôme cyclotomique]] $\Phi_n$, de degré $\varphi(n)$, à coefficients entiers et irréductible sur $\mathbb{Q}$ ; d'où la factorisation17
$$X^{n}-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(X).$$18
19
##### Exemples20
21
1. $\mu_1=\{1\}$, $\mu_2=\{1,-1\}$, $\mu_3=\{1,j,j^{2}\}$ avec $j=\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt3}{2}$, $\mu_4=\{1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\}$. Les racines primitives sont respectivement $1$ ; $-1$ ; $j$ et $j^{2}$ ; $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$.22
2. **Racines cinquièmes.** $\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr)=\frac{\sqrt5-1}{4}$, ce qui rend le pentagone régulier constructible et fait apparaître le nombre d'or : $\zeta_5+\zeta_5^{-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}$.Revision 2790
8/29/2026, 9:20:43 PM · visitor
Concept created
##### Définition intuitive
Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les nombres complexes qui redonnent $1$ lorsqu'on les élève à la puissance $n$. Géométriquement, ce sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, l'un d'eux étant $1$.
##### Définition formelle
Soit $n\geqslant 1$. Une *racine $n$-ième de l'unité* est un $z\in\mathbb{C}$ tel que $z^{n}=1$. L'ensemble de ces racines est
$$\mu_n=\bigl\{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi k/n}\ :\ 0\leqslant k\leqslant n-1\bigr\}.$$
**Proposition.** $\mu_n$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^{*},\times)$, cyclique d'ordre $n$, engendré par $\zeta_n=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$. Plus précisément, l'application $k\mapsto\zeta_n^{k}$ induit un isomorphisme
$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \mu_n .$$
*Preuve.* Le polynôme $X^{n}-1$ est de degré $n$ et premier avec sa dérivée $nX^{n-1}$, donc scindé à racines simples : $|\mu_n|=n$. La stabilité par produit et inverse est immédiate. Enfin $\zeta_n^{k}=1$ équivaut à $n\mid k$, donc $\zeta_n$ est d'ordre $n$ et engendre $\mu_n$. $\square$
**Racines primitives.** Une racine $n$-ième $\zeta$ est *primitive* si son ordre multiplicatif vaut exactement $n$, c'est-à-dire si elle engendre $\mu_n$. On a
$$\zeta_n^{k}\ \text{primitive}\iff \mathrm{pgcd}(k,n)=1 ,$$
et il y en a donc exactement $\varphi(n)$. Le polynôme unitaire dont elles sont les racines est le $n$-ième polynôme cyclotomique$\Phi_n$, de degré $\varphi(n)$, à coefficients entiers et irréductible sur $\mathbb{Q}$ ; d'où la factorisation
$$X^{n}-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(X).$$
##### Exemples
1. $\mu_1=\{1\}$, $\mu_2=\{1,-1\}$, $\mu_3=\{1,j,j^{2}\}$ avec $j=\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt3}{2}$, $\mu_4=\{1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\}$. Les racines primitives sont respectivement $1$ ; $-1$ ; $j$ et $j^{2}$ ; $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$.
2. **Racines cinquièmes.** $\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr)=\frac{\sqrt5-1}{4}$, ce qui rend le pentagone régulier constructible et fait apparaître le nombre d'or : $\zeta_5+\zeta_5^{-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}$.