Matrice compagnon

Définition intuitive

Étant donné un polynôme unitaire, on cherche une matrice qui l’admette pour [[Characteristic polynomial|polynôme caractéristique], et si possible de la façon la plus économique possible. La matrice compagnon est cette réponse canonique.

Définition formelle

Soit $K$ un corps et $P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0\in K[X]$ un polynôme unitaire de degré $n\geqslant 1$. La matrice compagnon de $P$ est
$$C_P=\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_0\\ 1&0&\cdots&0&-a_1\\ 0&1&\cdots&0&-a_2\\ \vdots&&\ddots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&-a_{n-1} \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(K),$$c’est-à-dire la matrice de l’endomorphisme « multiplication par $X$ » de $K[X]/(P)$ dans la base $\bigl(\overline{1},\overline{X},\dots,\overline{X^{n-1}}\bigr)$.

Conventions. Plusieurs variantes coexistent : la transposée de $C_P$, ou la version avec les coefficients en première ligne, sont également appelées matrices compagnons. Toutes sont semblables entre elles, puisqu’elles ont même polynôme minimal égal au polynôme caractéristique.