Matrice compagnon
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8/31/2026, 9:27:27 AM · Catalpa
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##### Définition intuitive2
Étant donné un polynôme unitaire, on cherche une matrice qui l'admette pour polynôme caractéristique, et si possible de la façon la plus économique possible. La matrice compagnon est cette réponse canonique.2
Étant donné un polynôme unitaire, on cherche une matrice qui l'admette pour [[Characteristic polynomial|polynôme caractéristique], et si possible de la façon la plus économique possible. La matrice compagnon est cette réponse canonique.3
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##### Définition formelle5
Soit $K$ un corps et $P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0\in K[X]$ un polynôme **unitaire** de degré $n\geqslant 1$. La *matrice compagnon* de $P$ est6
$$C_P=\begin{pmatrix}7
0&0&\cdots&0&-a_0\\8
1&0&\cdots&0&-a_1\\9
0&1&\cdots&0&-a_2\\10
\vdots&&\ddots&&\vdots\\11
0&0&\cdots&1&-a_{n-1}12
\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(K),$$13
c'est-à-dire la matrice de l'endomorphisme « multiplication par $X$ » de $K[X]/(P)$ dans la base $\bigl(\overline{1},\overline{X},\dots,\overline{X^{n-1}}\bigr)$.14
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**Conventions.** Plusieurs variantes coexistent : la transposée de $C_P$, ou la version avec les coefficients en première ligne, sont également appelées matrices compagnons. Toutes sont semblables entre elles, puisqu'elles ont même polynôme minimal égal au polynôme caractéristique.Revision 2771
8/29/2026, 8:30:54 PM · visitor
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##### Définition intuitive
Étant donné un polynôme unitaire, on cherche une matrice qui l'admette pour polynôme caractéristique, et si possible de la façon la plus économique possible. La matrice compagnon est cette réponse canonique.
##### Définition formelle
Soit $K$ un corps et $P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0\in K[X]$ un polynôme **unitaire** de degré $n\geqslant 1$. La *matrice compagnon* de $P$ est
$$C_P=\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&-a_0\\
1&0&\cdots&0&-a_1\\
0&1&\cdots&0&-a_2\\
\vdots&&\ddots&&\vdots\\
0&0&\cdots&1&-a_{n-1}
\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(K),$$
c'est-à-dire la matrice de l'endomorphisme « multiplication par $X$ » de $K[X]/(P)$ dans la base $\bigl(\overline{1},\overline{X},\dots,\overline{X^{n-1}}\bigr)$.
**Conventions.** Plusieurs variantes coexistent : la transposée de $C_P$, ou la version avec les coefficients en première ligne, sont également appelées matrices compagnons. Toutes sont semblables entre elles, puisqu'elles ont même polynôme minimal égal au polynôme caractéristique.