pavages périodiques

Définition intuitive

Un pavage recouvre le plan par des tuiles qui ne se chevauchent pas et ne laissent aucun trou. Il est périodique lorsqu’il se répète : on peut le faire glisser dans deux directions indépendantes et le retrouver exactement superposé à lui-même. Toute l’information tient alors dans un motif fini, la tuile fondamentale, et dans le réseau de translations qui la reproduit, c’est le principe du papier peint, du carrelage ou du cristal.

Définition formelle

Un pavage du plan est une famille $(T_i)_{i\in I}$ de parties compactes de $\mathbb{R}^{2}$, d’intérieur non vide, telles que
$$\bigcup_{i\in I}T_i=\mathbb{R}^{2},\qquad \mathring{T_i}\cap\mathring{T_j}=\varnothing\ \text{ pour } i\neq j .$$

Le groupe de symétrie du pavage est
$$\Gamma=\bigl\{g\in\mathrm{Isom}(\mathbb{R}^{2})\ :\ g \text{ permute les tuiles }T_i\bigr\},$$et son sous-groupe des translations est noté $\Lambda=\Gamma\cap\mathbb{R}^{2}$.

Définition. Le pavage est périodique si $\Lambda$ est un réseau de $\mathbb{R}^{2}$, c’est-à-dire s’il contient deux translations de vecteurs non colinéaires. On dit alors que $\Gamma$ est un groupe cristallographique plan, ou groupe de papier peint.

Théorème (restriction cristallographique). Soit un pavage périodique de réseau $\Lambda$. Si une rotation d’angle $\theta$ appartient à $\Gamma$, alors son ordre est $1$, $2$, $3$, $4$ ou $6$.

Preuve. La partie linéaire $A$ de la rotation préserve $\Lambda$, donc sa matrice dans une base de $\Lambda$ est à coefficients entiers : $\operatorname{tr}A\in\mathbb{Z}$. Or la trace est invariante par changement de base, et dans une base orthonormée $A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$, d’où
$$2\cos\theta\in\mathbb{Z}\ \Longrightarrow\ 2\cos\theta\in\{-2,-1,0,1,2\}\ \Longrightarrow\ \theta\in\Bigl\{\pi,\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{3},0\Bigr\}. \qquad\square$$

Exemples

1. Les trois pavages réguliers. Seuls le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier pavent le plan par des copies d’un unique polygone régulier bord à bord.
2. Nid d’abeilles. Le pavage hexagonal a pour réseau de translations le réseau hexagonal $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}j$, et pour groupe ponctuel $D_6$ d’ordre $12$.