irréductibilité

Définition intuitive

Un polynôme est irréductible sur $\mathbb{Q}$ lorsqu’on ne peut pas le factoriser en deux polynômes rationnels plus petits : il joue pour les polynômes le rôle que les nombres premiers jouent pour les entiers. La notion est relative au corps de base, et c’est là le point délicat, $X^{2}+1$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$, se factorise sur $\mathbb{C}$, et $X^{2}-2$ change de statut entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$. Sur $\mathbb{Q}$ précisément, la situation est bien plus riche que sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, où seuls les degrés $1$ et $2$ subsistent : il existe des polynômes irréductibles de tout degré, en abondance.

Définition formelle

Un polynôme $P\in\mathbb{Q}[X]$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ si $\deg P\geqslant 1$ et si toute factorisation $P=QR$ avec $Q,R\in\mathbb{Q}[X]$ force $Q$ ou $R$ à être constant. Les constantes non nulles sont les unités de $\mathbb{Q}[X]$ ; elles ne sont ni irréductibles ni réductibles.

Lemme de Gauss. Un polynôme $P\in\mathbb{Z}[X]$ non constant est primitif si le pgcd de ses coefficients vaut $1$. Alors :

• le produit de deux polynômes primitifs est primitif ;
• si $P\in\mathbb{Z}[X]$ est primitif, il est irréductible sur $\mathbb{Q}$ si et seulement s’il l’est sur $\mathbb{Z}$.

Cette équivalence est fondamentale : elle autorise à raisonner sur $\mathbb{Z}[X]$, où l’on dispose de la réduction modulo $p$ et des contraintes de divisibilité. Toute question d’irréductibilité sur $\mathbb{Q}$ se ramène à $\mathbb{Z}[X]$ en chassant les dénominateurs.

Une boîte à outils

1. Degrés $2$ et $3$. Un polynôme de degré $2$ ou $3$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ si et seulement s’il n’a pas de racine rationnelle. Le critère tombe en défaut dès le degré $4$ : $X^{4}+4=(X^{2}-2X+2)(X^{2}+2X+2)$ n’a aucune racine rationnelle.

2. Racines rationnelles. Si $P=\sum a_iX^{i}\in\mathbb{Z}[X]$ admet la racine $p/q$ sous forme réduite, alors $p\mid a_0$ et $q\mid a_n$. Cela ramène la recherche à une liste finie.

3. Critère d’Eisenstein. Soit $P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^{i}\in\mathbb{Z}[X]$ et $p$ premier tel que
$$p\nmid a_n,\qquad p\mid a_i\ (0\leqslant i\leqslant n-1),\qquad p^{2}\nmid a_0 .$$Alors $P$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$. Le critère s’applique souvent après un changement de variable $X\mapsto X+c$, qui ne modifie pas l’irréductibilité.

4. Réduction modulo $p$. Si $P\in\mathbb{Z}[X]$ est de degré $n$, si $p\nmid a_n$ et si $\overline{P}$ est irréductible dans $\mathbb{F}_p[X]$, alors $P$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$. L’implication est à sens unique : l’irréductibilité sur $\mathbb{Q}$ ne se transmet pas aux corps finis.

5. Polygone de Newton, critère de Perron, critère de Cohn. Ces outils plus fins traitent des cas où les précédents échouent.

Remarques

• Les critères ne sont que suffisants. Aucun d’eux n’est nécessaire, et il existe des polynômes irréductibles auxquels aucun ne s’applique directement.
• Abondance. Un polynôme entier « au hasard » est irréductible avec probabilité tendant vers $1$. Plus précisément, le théorème d’irréductibilité de Hilbert affirme que si $P(T,X)$ est irréductible sur $\mathbb{Q}(T)$, alors $P(t,X)$ reste irréductible pour « presque tout » $t\in\mathbb{Q}$.
• Contre-exemple sur la réduction. Le polynôme $X^{4}+1=\Phi_8$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$, mais réductible modulo tout premier : pour $p=2$ c’est $(X+1)^{4}$, et pour $p$ impair on vérifie que $-1$, $2$ ou $-2$ est toujours un carré modulo $p$, ce qui fournit une factorisation en deux facteurs de degré $2$. Le critère 4 ne peut donc jamais servir ici : la réduction modulo $p$ est un outil à sens unique.

Exemples

1. $X^{2}-2$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ car $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$, mais réductible sur $\mathbb{R}$. Le corps $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ est de degré $2$.
2. Polynômes cyclotomiques. $\Phi_p(X)=1+X+\cdots+X^{p-1}$ est irréductible : le changement $X\mapsto X+1$ donne $\Phi_p(X+1)=\sum_{k=1}^{p}\binom{p}{k}X^{k-1}$, où Eisenstein en $p$ s’applique, les coefficients binomiaux $\binom{p}{k}$ étant divisibles par $p$ pour $1\leqslant k\leqslant p-1$, et le terme constant valant $p$. Plus généralement, tout $\Phi_n$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$, résultat dû à Gauss et nettement plus délicat.
3. $X^{3}-2$ est irréductible par Eisenstein en $p=2$ ; donc $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]2):\mathbb{Q}]=3$, ce qui interdit la duplication du cube à la règle et au compas, les degrés constructibles étant des puissances de $2$.
4. $X^{5}-X-1$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ car sa réduction modulo $2$ l’est dans $\mathbb{F}_2[X]$.
5. $X^{4}+1$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ : Eisenstein appliqué à $(X+1)^{4}+1=X^{4}+4X^{3}+6X^{2}+4X+2$ avec $p=2$ conclut.