Anneau quotient
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Revision 6472
10/3/2026, 12:21:39 AM · FiniteField
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##### Définition intuitive 2
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Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal de $A$. On veut créer un nouvel anneau avec des propriétés similaires à $A$ mais dans lequel les éléments de $I$ sont nuls.4
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##### Définition/Propriété6
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Soit $A$ un [[anneau|anneau]] commutatif et unitaire et $I$ un [[ideal-fr|idéal]] de $A$. On pose la [[relation-dequivalence|relation d'équivalence]] $a\sim_{I}b$ définie sur $A$ par $a\sim_{I}b\Leftrightarrow a-b\in I$. On pose $A/I=A/\sim_{I}$ et on note $\overline{a}$ la classe de $a$. Les opérations 8
$$\overline{a}\times\overline{b}:= \overline{ab}\text{ et }\overline{a}+\overline{b}:=\overline{a+b}$$9
permettent de munir $A/I$ d'une structure d'anneau appelé *anneau quotient de* $A$ *par* $I.$ L'application canonique $\pi\colon A\to A/I, a\mapsto \overline{a}$ est alors un morphisme d'anneaux.9
permettent de munir $A/I$ d'une structure d'anneau appelé *anneau quotient de* $A$ *par* $I.$ L'application canonique $\pi\colon A\to A/I, a\mapsto \overline{a}$ est alors un morphisme surjectif d'anneaux tel que $\ker(\pi)=I.$10
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##### ExemplesRevision 6471
10/3/2026, 12:19:20 AM · FiniteField
Updated title
titleQuotient d’anneauAnneau quotient
Revision 6470
10/3/2026, 12:17:08 AM · FiniteField
Concept created
##### Définition intuitive
Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal de $A$. On veut créer un nouvel anneau avec des propriétés similaires à $A$ mais dans lequel les éléments de $I$ sont nuls.
##### Définition/Propriété
Soit $A$ un [[anneau|anneau]] commutatif et unitaire et $I$ un [[ideal-fr|idéal]] de $A$. On pose la [[relation-dequivalence|relation d'équivalence]] $a\sim_{I}b$ définie sur $A$ par $a\sim_{I}b\Leftrightarrow a-b\in I$. On pose $A/I=A/\sim_{I}$ et on note $\overline{a}$ la classe de $a$. Les opérations
$$\overline{a}\times\overline{b}:= \overline{ab}\text{ et }\overline{a}+\overline{b}:=\overline{a+b}$$
permettent de munir $A/I$ d'une structure d'anneau appelé *anneau quotient de* $A$ *par* $I.$ L'application canonique $\pi\colon A\to A/I, a\mapsto \overline{a}$ est alors un morphisme d'anneaux.
##### Exemples