Anneau quotient

Définition intuitive

Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal de $A$. On veut créer un nouvel anneau avec des propriétés similaires à $A$ mais dans lequel les éléments de $I$ sont nuls.

Définition/Propriété

Soit $A$ un anneau commutatif et unitaire et $I$ un idéal de $A$. On pose la relation d’équivalence $a\sim_{I}b$ définie sur $A$ par $a\sim_{I}b\Leftrightarrow a-b\in I$. On pose $A/I=A/\sim_{I}$ et on note $\overline{a}$ la classe de $a$. Les opérations
$$\overline{a}\times\overline{b}:= \overline{ab}\text{ et }\overline{a}+\overline{b}:=\overline{a+b}$$permettent de munir $A/I$ d’une structure d’anneau appelé anneau quotient de $A$ par $I.$ L’application canonique $\pi\colon A\to A/I, a\mapsto \overline{a}$ est alors un morphisme surjectif d’anneaux tel que $\ker(\pi)=I.$

Exemples