Ivan Shishkin, Birch Grove

Relation d’équivalence

Definition / Set theory /

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Définition formelle

Soit EE un ensemble et R\mathcal R une relation binaire sur EE.

On dit que R\mathcal R est une relation d’équivalence si elle est :

  • réflexive :
    ∀x∈E,xRx;\forall x\in E,\quad x\mathcal R x ;
  • symétrique :
    ∀x,y∈E,xRy⟹yRx;\forall x,y\in E,\quad x\mathcal R y\Longrightarrow y\mathcal R x ;
  • transitive :
    ∀x,y,z∈E,(xRy et yRz)⟹xRz.\forall x,y,z\in E,\quad (x\mathcal R y\text{ et }y\mathcal R z)\Longrightarrow x\mathcal R z.

Practice this concept with exercises

  • Déterminer quelles sont les relations d’équivalences parmi les suivantes et justifiez :

    1. Relation d’égalité sur R\mathbb{R} :
      ∀x,y∈R,x R y  ⟺  x=y.\forall x,y \in \mathbb{R}, \qquad x\,\mathcal R\, y \iff x=y.

    2. Relation d’ordre sur R\mathbb{R} :
      ∀x,y∈R,x R y  ⟺  x≤y.\forall x,y \in \mathbb{R}, \qquad x\,\mathcal R\, y \iff x\leq y.

    3. Congruence modulo nn sur Z\mathbb{Z} :
      ∀x,y∈Z,x R y  ⟺  x≡y(modn).\forall x,y \in \mathbb{Z}, \qquad x\,\mathcal R\, y \iff x\equiv y \pmod n.

    4. Même valeur absolue sur R\mathbb{R} :
      ∀x,y∈R,x R y  ⟺  ∣x∣=∣y∣.\forall x,y \in \mathbb{R}, \qquad x\,\mathcal R\, y \iff |x|=|y|.

    5. Ordre strict sur R\mathbb{R} :
      ∀x,y∈R,x R y  ⟺  x<y.\forall x,y \in \mathbb{R}, \qquad x\,\mathcal R\, y \iff x<y.

    Open exercise
Problems using this concept (1)
Un cardinal ésotérique pour les compacts dénombrables