Localisation

Définition intuitive

Soit $A$ un anneau. On veut créer un nouvel anneau formé de fractions $\dfrac{a}{b}$ où $a,b$ sont dans $A.$

Définition : Localisation

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire et $S$ une partie multiplicative de $A$. On pose la relation d’équivalence $(a,s)\sim (a',s')$ s’il existe $t\in S$ tel que $t(s'a-sa)=0.$ On pose $S^{-1}A=(A\times S)/\sim$ et on note $\dfrac{a}{s}$ la classe de $(a,s)$. On munit alors $S^{-1}A$ de la structure d’anneaux donnée par
$$\dfrac{a}{s}+\dfrac{a'}{s'}=\dfrac{as'+a's}{ss'}\text{ et }\dfrac{a}{s}\times\dfrac{a'}{s'}=\dfrac{aa'}{ss'}.$$L’anneau $(S^{-1}A,+,\times)$ est alors appelé localisation de $A$ en $S.$

L’application $\ell_{S}\colon A\to S^{-1}A$ définie par $\ell_{S}(a)=\dfrac{a}{1}$ est un morphisme d’anneaux appelé morphisme canonique.

Exemples

• Si $A$ est un anneau intègre alors $S=A\setminus\set{0}$ est une partie multiplicative et $S^{-1}A$ est un corps appelé corps des fractions de $A.$
• Si $\mathfrak{p}$ est un idéal premier de $A$ alors $S=A\setminus\mathfrak{p}$ est une partie multiplicative. On note alors $A_{\mathfrak{p}}=S^{-1}A$ appelé localisé de $A$ en $\mathfrak{p}.$