Baire-mesurable

Définition intuitive

Dans un espace topologique $X$, un sous-ensemble Baire-mesurable est une partie $A$ de $X$ qui est "égale" à un sous-ensemble ouvert, à une différence maigre près. Cette proximité entre un sous-ensemble Baire-mesurable et un ouvert est porteuse. Les sous-ensembles Baire-mesurables forment une des classes de sous-ensembles qui sont étudiés en théorie descriptive des ensembles.

Définition formelle

Soit $X$ un espace topologique. Une partie $A$ de $X$ est dite $\textbf{Baire-mesurable}$ s’il existe un sous-ensemble ouvert $U$ de $X$ et un sous-ensemble maigre $M$ de $X$ tels que $A \Delta U = M$.

On peut apporter un point de vue $\textbf{algébrique}$ à cette définition. L’ensemble des parties de $X$ est naturellement munit d’une structure d'anneau si on l’équipe de la différence symétrique $\Delta$ et de l'intersection^EN $\cap$. On note $\mathcal{M}(X)$ l’ensemble des parties maigres de $X$. Il est aisé de constater que $\mathcal{M}(X)$ est un idéal de l’anneau $(2^{X},\Delta,\cap)$. Un sous-ensemble Baire-mesurable est donc, par définition, un élément de $2^{X}$ qui est en relation modulo $\mathcal{M}(X)$ avec un sous-ensemble ouvert de $X$.

On note $\mathrm{Baire}(X)$ la famille des sous-ensembles Baire-mesurables de $X$.

Propriétés

Soit $X$ un espace topologique. $\mathrm{Baire}(X)$ est une tribu sur $X$, qui contient la tribu borélienne.

Une conséquence du résultat précédent est que la tribu de Baire est la plus petite tribu qui contient la tribu borélienne et les sous-ensembles maigres de $X$. En général, $\mathcal{B}(X) \subsetneq \mathrm{Baire}(X)$, par exemple $\lvert \mathcal{B}(\mathbb{R}) \rvert = 2^{\aleph_{0}}$, alors que $\lvert \mathrm{Baire}(\mathbb{R}) \rvert = 2^{2^{\aleph_{0}}}$, ce qui montre que c’est bien le cas quand $X = \mathbb{R}$.

Si $Y$ est un espace topologique, on dit qu’une application $f \colon X \to Y$ est $\textbf{Baire-mesurable}$ si pour tout ouvert $U$ de $Y$, $f^{-1}(U) \in \mathrm{Baire}(X)$.

Quelques faits

L’étude des sous-ensembles Baire-mesurables mène à de nombreuses dichotomies du type « tout ou rien », qu’on appelle souvent « disjonctions de Baire ». Par exemple, on peut montrer que dans certaines situations, des applications sont soit continues, soit très irrégulières, c’est-à-dire non Baire-mesurables. Ou encore, que dans certains contextes, une application est soit génériquement constante, soit non Baire-mesurable.

L’existence de sous-ensembles ou d’applications non Baire-mesurables dépend fortement de l’axiome du choix. Sans ce dernier, ou sans certaines formes légèrement plus faibles, il n’est pas incohérent de supposer que toutes les parties de $\mathbb{R}$ sont Baire-mesurables (c’est un résultat dû à Robert M. Solovay).