Quantification générique

Idée

Parmi les nombreux sous-ensembles de la droite réelle, on peut en distinguer deux types qui sont de nature "négligeable". D’une part, il y a ceux qui sont Lebesgue-négligeables, et d’autre part, ceux qui sont maigres.

Ces deux notions de petitesse sont semblables sur bien des aspects, mais diffèrent fondamentalement sur un point : l’une est quantitative (puisque liée à la théorie de la mesure), tandis que l’autre est topologique (puisque ne dépend que des ouverts). Ici, nous nous intéressons au pendant topologique de ces deux approches.

Souvent, certaines propriétés sont vérifiée sur des "gros" sous-ensembles d’un espace topologique $X$, c’est-à-dire sur des parties de $X$ dont le complémentaire est petit. Si l’on parvient à définir la notion de "gros" et celle (complémentaire) de "petit", la phrase précédente est alors pourvue d’un sens précis. Ces considérations affutent l’intuition dans certains contextes, et donnent d’élégantes façons d’énoncer certains résultats.

Définition formelle

Soit $X$ un espace topologique. Soit $P(x)$ une formule (au sens intuitif du terme) d’une seule variable libre. On dit que $P$ est satisfaite (ou vraie) $\textbf{pour tout } x\textbf{ générique}$ si $\lbrace x \in X \mid P(x) \rbrace$ est comaigre dans $X$. On le notera $(\forall^{*} x)(P(x))$.

Exemples

• Il est vrai que pour tout $x$ générique dans $\mathbb{R}$, $x$ est irrationnel.
• Il est vrai que pour tout $x$ générique dans $2^{\omega}$ (le compact de Cantor munit de la topologie produit), $x^{-1}(\lbrace 1 \rbrace)$ est infini.
• Il n’est pas vrai en général qu’une propriété vraie presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue) est vraie pour tout $x$ générique (voir exercice).