Sous-ensemble maigre

Définition intuitive

Les sous-ensembles maigres sont, en un sens topologique, les « petits » sous-ensembles d’un espace topologique, ou les sous-ensembles « négligeables ».

Définition formelle

Soit $X$ un espace topologique. Un sous-ensemble $M$ de $X$ est dit $\textbf{maigre}$ s’il existe une suite $(F_{n})$ de fermés d'intérieurs vides de $X$ tels que $M \subset \bigcup_{n} F_{n}$.

Ceci revient à dire que le complémentaire de $M$ est comaigre.

Quelques propriétés

• Toute union dénombrable de sous-ensembles maigres de $X$ est maigre dans $X$.
• Dans tout espace métrique complet, les sous-ensembles maigres sont d’intérieur vide.
• La famille des sous-ensembles maigres est un idéal de l’anneau $(2^{X},\Delta,\cap)$.

Exemples

• Si $X = \mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$ est maigre.
• Dans tout espace séparé, un singleton est une partie maigre si et seulement si ce n’est pas un ouvert.