La relation $E_{0}$

Soit $\mathcal{C}$ le groupe compact $(2^{\omega},\Delta)$ (où $\omega$ désigne $\mathbb{N}$). On définit la relation $E_{0}$ sur $\mathcal{C}$ par

$$\alpha E_{0} \beta \Leftrightarrow \lbrace n \mid \alpha(n) \neq \beta(n)\rbrace \text{ est fini}.$$

Montrer que :

$(\mathbf{1})$ $E_{0}$ est une relation d’équivalence,
$\mathbf{(2)}$ si $x \in \mathcal{C}$, $\overline{x}^{E_{0}}$ (la classe de $x$ pour $E_{0}$) est dense et maigre dans $\mathcal{C}$,
$\mathbf{(3)}$ il existe un sous-groupe dénombrable $G \subset \mathcal{C}$ tel que $E_{0}$ est la relation d’équivalence modulo $G$,
$\mathbf{(4)}$ le cardinal de $\mathcal{C}/E_{0}$ est $2^{\aleph_{0}}$,
$\mathbf{(5)}$ si $\mathcal{R}$ est une partie $E_{0}$-saturée de $\mathcal{C}$, $\mathcal{R}$ est ou bien maigre, ou bien comaigre.

$\textbf{Question bonus}$ : On dit qu’une partie $\mathcal{T}$ de $\mathcal{C}$ est une $\textbf{section}$ (ou $\textbf{transversale}$) de $E_{0}$ si $\mathcal{T}$ rencontre une et une seule fois chaque $E_{0}$ classe. Montrer que si $\mathcal{T}$ est une section de $E_{0}$, $\mathcal{T}$ est une partie non Baire-mesurable de $\mathcal{C}$.