Sous-ensemble comaigre

Définition intuitive

Les sous-ensembles comaigres sont, en un sens topologique, les "gros" sous-ensembles d’un espace topologique, ou les sous-ensembles "omniprésents".

Définition formelle

Soit $X$ un espace topologique. Un sous-ensemble $C$ de $X$ est dit $\textbf{comaigre}$ s’il existe une suite $(O_{n})_{n}$ d’ouverts denses de $X$ tels que $\bigcap_{n} O_{n} \subset C$.

Ceci revient à dire que le complémentaire de $C$ est maigre.

Quelques propriétés

• Toute intersection dénombrable de sous-ensembles comaigres de $X$ est comaigre dans $X$.
• Dans tout espace métrique complet, les sous-ensembles comaigres sont denses.
• La famille des sous-ensembles comaigres est un filtre $\sigma$-complet sur $X$.

Exemples

• Si $X = \mathbb{R}$, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est comaigre.