Loi $0-1$ topologique

Soit $X$ un espace topologique de Baire. Soit $G$ un groupe d’homéomorphismes de $X$ tels que pour tout couple d’ouverts $U$ , $V$ de $X$ , il existe un élément $g \in G$ tel que $g(U) \cap V \neq \emptyset$ . Soit $A$ une partie Baire-mesurable de $X$ telle que pour tout $g \in G$ , $g(A) = A$ . Montrer qu’on a l’alternative :

$A$ est maigre,
$A$ est comaigre.

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Solution by La chouette aveugle

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Procédons par l’absurde en supposant que ni $A$ ni $X \setminus A$ n’est maigre. Soit $U$ un ouvert de $X$ et $M$ un sous-ensemble maigre de $X$ tels que $A = U \Delta M$ . Soit de même $V$ un ouvert de $X$ et $N$ un sous-ensemble maigre de $X$ tels que $X \setminus A = V \Delta N$ . Dans ce cas, on a

$U \Delta M = A = g(A) = g(U) \Delta g(M),$

et $V \cap (U \Delta M) = V \cap(g(U) \Delta g(M))$ , ainsi $(V \cap U)\Delta (V \cap M) = (V \cap g(U))\Delta (V \cap g(M))$ . Si l’on montre que $V \cap U$ est maigre, alors on aura montré qu’il existe $M_{1}$ , $M_{2}$ et $M_{3}$ tous maigres tels que $V \cap g(U) = M_{1} \Delta M_{2} \Delta M_{3}$ , ce qui serait absurde puisque $X$ est un espace de Baire, et que $V \cap g(U)$ n’est pas vide, montrant le résultat.

Puisque $U = A \Delta M$ et que $V = (X\setminus A) \Delta N$ , on déduit que $U \cap V = (A \cap N) \Delta (M \cap (X \setminus A)) \Delta (M \cap N)$ , qui est bien maigre.

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