Loi $0-1$ topologique

Procédons par l’absurde en supposant que ni $A$ ni $X \setminus A$ n’est maigre. Soit $U$ un ouvert de $X$ et $M$ un sous-ensemble maigre de $X$ tels que $A = U \Delta M$. Soit de même $V$ un ouvert de $X$ et $N$ un sous-ensemble maigre de $X$ tels que $X \setminus A = V \Delta N$. Dans ce cas, on a

$$U \Delta M = A = g(A) = g(U) \Delta g(M),$$

et $V \cap (U \Delta M) = V \cap(g(U) \Delta g(M))$, ainsi $(V \cap U)\Delta (V \cap M) = (V \cap g(U))\Delta (V \cap g(M))$. Si l’on montre que $V \cap U$ est maigre, alors on aura montré qu’il existe $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ tous maigres tels que $V \cap g(U) = M_{1} \Delta M_{2} \Delta M_{3}$, ce qui serait absurde puisque $X$ est un espace de Baire, et que $V \cap g(U)$ n’est pas vide, montrant le résultat.

Puisque $U = A \Delta M$ et que $V = (X\setminus A) \Delta N$, on déduit que $U \cap V = (A \cap N) \Delta (M \cap (X \setminus A)) \Delta (M \cap N)$, qui est bien maigre.