Espace de Baire

Showing the Français version because no English translation exists yet. Add that translation.

This article is a stub

Définition intuitive

Un espace topologique de Baire est un type particulier d’espace topologique dans lequel les parties "petites" (c’est-à-dire les parties maigres) ne peuvent pas créer un espace suffisament conséquent quand on les recolle entre elles, même si elles sont en nombre dénombrable.

Définition formelle

Soit $X$ un espace topologique. $X$ est un $\textbf{espace de Baire}$ si tout sous-ensemble maigre de $X$ est d'intérieur vide.

Exemples

Tout espace métrique complet est un espace de Baire.
$\mathbb{Q}$ n’est pas un espace de Baire.
Tout espace de Baire sans point isolé est indénombrable.
Le produit de deux espaces de Baire n’est pas toujours un espace de Baire.

Practice this concept with exercises

Soit $X$ un espace topologique de Baire. Soit $G$ un groupe d’homéomorphismes de $X$ tels que pour tout couple d’ouverts $U$ , $V$ de $X$ , il existe un élément $g \in G$ tel que $g(U) \cap V \neq \emptyset$ . Soit $A$ une partie Baire-mesurable de $X$ telle que pour tout $g \in G$ , $g(A) = A$ . Montrer qu’on a l’alternative :
- $A$ est maigre,
- $A$ est comaigre.
Open exercise

Problems using this concept (0)

No listed problems link to this concept yet.

Problems using this concept (spoiler) (0)

No listed problems use this concept as a spoiler yet.