Espace polonais

Définition formelle

Un espace polonais $P$ est un espace topologique homéomorphe à un espace métrique complet séparable, c’est-à-dire qu’il est complètement métrisable et à $\textbf{base dénombrable}$ d’ouverts. On dit qu’une topologie $\tau$ sur un ensemble $X$ est $\textbf{polonaise}$ si elle fait de $(X,\tau)$ un espace polonais.

Usages

Les espace polonais offrent un cadre agréable pour de nombreux domaines des mathématiques, de l’étude des $\textbf{probabilités}$ à $\textbf{l'analyse fonctionnelle}$, en passant par la $\textbf{logique}$ mathématique. La $\textbf{théorie descriptive des ensembles}$ est la branche des mathématiques qui étudie les espaces polonais, en étudiant d’abord leurs sous-ensembles et en établissant une hiérarchie de leur complexité « descriptive ».

Cette idée de « complexité descriptive » se traduit ainsi : dans un espace polonais $P$, un sous-ensemble $G_{\delta}$ est définit par une formule du type « $\forall_{n} (x\in U_{n})$ », où $(U_{n})_{n}$ est une famille d’ouverts, et $x$ une variable libre, et un sous-ensemble plus « complexe » qu’un $G_{\delta}$ devrait être défini par une formule plus longue, telle que $\exists_{m}\forall_{n}(x \in U_{m,n})$, ou encore $\forall_{l}\exists_{m}\forall_{n}(x \in U_{l,m,n})$, etc.

Parmi les grandes familles de sous-ensembles d’un espace polonais, on peut trouver les $\textbf{ouverts}$, les $\textbf{fermés}$, les $G_{\delta}$, les sous-ensembles $\textbf{boréliens}$, $\textbf{analytiques}$, $\textbf{coanalytiques}$, $\textbf{Baire-mesurables}$, $\textbf{maigres}$, $\textbf{Lebesgue-mesurables}$, etc. Les études de ces sous-ensembles mènent à d’impressionnant résultats dont les champs d’applications sont vastes.

Exemples

• La droite réelle $\mathbb{R}$, tout espace compact métrisable et les espaces de Banach séparables sont naturellement munis d’une structure d’espace polonais.
• Parmi les espaces polonais les plus importants, on peut citer $2^{\omega}$ (le compact de Cantor), et $\omega^{\omega}$ (l’espace de Baire), tous deux munit de la topologie produit.
• La droite rationnelle $\mathbb{Q}$ n’est pas un espace polonais.