Concept history

Améliorations typographiques (guillemets, ensemble vide, ...)

Updated text

Concept created

##### Définition intuitive

Dans un [[Espace topologique|espace topologique]] $X$, un [[Sous-ensemble|sous-ensemble]] Baire-mesurable est une partie $A$ de $X$ qui est "égale" à un sous-ensemble ouvert, à une différence [[Ensemble maigre|maigre]] près. Cette proximité entre un sous-ensemble Baire-mesurable et un ouvert est porteuse. Les sous-ensembles Baire-mesurables forment une des classes de sous-ensembles qui sont étudiés en théorie descriptive des ensembles.

##### Définition formelle

Soit $X$ un espace topologique. Une partie $A$ de $X$ est dite $\textbf{Baire-mesurable}$ s'il existe un sous-ensemble ouvert $U$ de $X$ et un sous-ensemble maigre $M$ de $X$ tels que $A \Delta U = M$.

On peut apporter un point de vue $\textbf{algébrique}$ à cette définition. L'ensemble des parties de $X$ est naturellement munit d'une structure d'[[Anneau|anneau]] si on l'équipe de la [[différence symétrique|différence symétrique]] $\Delta$ et de l'[[Intersection of sets|intersection]] $\cap$. On note $\mathcal{M}(X)$ l'ensemble des parties maigres de $X$. Il est aisé de constater que $\mathcal{M}(X)$ est un [[ideal-fr|idéal]] de l'anneau $(2^{X},\Delta,\cap)$. Un sous-ensemble Baire-mesurable est donc, par définition, un élément de $2^{X}$ qui est en [[Anneau quotient|relation]] modulo $\mathcal{M}(X)$ avec un sous-ensemble ouvert de $X$.

On note $\mathrm{Baire}(X)$ la famille des sous-ensembles Baire-mesurables de $X$.

##### Propriétés

Soit $X$ un espace topologique. $\mathrm{Baire}(X)$ est une tribu sur $X$, qui contient la tribu borélienne.

:::fold Démonstration
Remarquons d'abord que tout ouvert est trivialement Baire-mesurable, ce qui une fois démontré que la famille des Baire-mesurables de $X$ est une tribu, impliquera immédiatement que $\mathcal{B}(X) \subset \mathrm{Baire}(X)$. 

- Ensuite, il est évident que $X \in \mathrm{Baire}(X)$ puisque $X \Delta X = \emptyset$, et que $\emptyset$ est maigre dans $X$.

- Soit $A \in \mathrm{Baire}(X)$. Soit $U$ un ouvert et $M$ un sous-ensemble maigre de $X$ tels que $A \Delta U = M$. Comme 
$$A \Delta U = M =(X \setminus  A) \Delta (X \setminus U),$$

et $X \setminus U = \partial U \sqcup \mathrm{Int}(X \setminus U) = \partial U \Delta \mathrm{Int}(X \setminus U)$, on déduit que $M = (X \setminus A) \Delta(\partial U)\Delta \mathrm{Int}(X \setminus U)$, donc que $(\partial U) \Delta M = (X \setminus A) \Delta \mathrm{Int}(X \setminus U)$, et que $X \setminus A$ est Baire-mesurable.

- Enfin, soit $(A_{n})_{n}$ une suite de parties Baire-mesurables de $X$. Pour tout $n$, soit $U_{n}$ un ouvert de $X$ tel que $A_{n} \Delta U_{n}$ est maigre. Puisque
$$\big(\bigcup_{n} A_{n}\big) \Delta \big(\bigcup_{n} U_{n}\big) \subseteq \bigcup_{n}( A_{n} \Delta U_{n}),$$
on déduit que $\bigcup_{n} A_{n}$ est Baire-mesurable.
:::

Une conséquence du résultat précédent est que la tribu de Baire est la plus petite tribu qui contient la tribu borélienne et les sous-ensembles maigres de $X$. En général, $\mathcal{B}(X) \subsetneq \mathrm{Baire}(X)$, par exemple $\lvert \mathcal{B}(\mathbb{R}) \rvert = 2^{\aleph_{0}}$, alors que $\lvert \mathrm{Baire}(\mathbb{R}) \rvert = 2^{2^{\aleph_{0}}}$, ce qui montre que c'est bien le cas quand $X = \mathbb{R}$.

Si $Y$ est un espace topologique, on dit qu'une application $f : X \longrightarrow Y$ est $\textbf{Baire-mesurable}$ si pour tout ouvert $U$ de $Y$, $f^{-1}(U) \in \mathrm{Baire}(X)$.

##### Quelques faits

L'étude des sous-ensembles Baire-mesurables mène à de nombreuses dichotomies du type "tout ou rien", qu'on appelle souvent "disjonctions de Baire". Par exemple, on peut montrer que dans certaines situations, des applications sont soit [[continuite-2|continues]], soit  très irrégulières, c'est-à-dire non Baire-mesurables. Ou encore, que dans certains contextes, une applications est soit [[Quantification générique|génériquement constante]], soit non Baire-mesurable.

L'existence de sous-ensembles ou d'applications non Baire-mesurables dépend fortement de l'axiome du choix. Sans ce dernier, ou sans certaines formes légèrement plus faibles, il n'est pas incohérent de supposer que toutes les parties de $\mathbb{R}$ sont Baire-mesurables (c'est un résultat dû à Robert M. Solovay).