Propriété universelle du quotient d’anneaux

Définition intuitive

On veut pouvoir factoriser des morphismes d’anneaux comme on sait déjà le faire pour des groupes.

Propriété universelle du quotient d’anneaux

Soient $f\colon A\to B$ un morphisme d’anneaux et $I\subset \ker(f)$ un idéal. Alors il existe un unique morphisme d’anneaux $\widetilde{f}\colon A/I\to B$ tel que $f=\widetilde{f}\circ \pi$ où $\pi\colon A\to A/I$ est la projection canonique.

De plus $\ker(\widetilde{f})=\pi(\ker(f))$ et $\mathrm{im}(\widetilde{f})=\mathrm{im}(f).$

Exemples

• En appliquant la propriété à $\ker(f)$ on obtient le théorème d’isomorphisme qui dit que
  $$A/\ker(f)\simeq \mathrm{im}(f).$$