Propriété universelle des anneaux de polynômes

Définition intuitive

Ce résultat nous permet de prolonger de façon polynômiale tout morphisme d’anneaux de façon assez intuitive.

Propriété universelle des anneaux de polynômes

Soient $n\in\mathbb{N},$ $\varphi\colon A\to B$ un morphisme d’anneaux et $b_{1},\dots,b_{n}$ des éléments de $B$. Alors il existe un unique morphisme d’anneaux
$$\widetilde{\varphi}\colon A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$$tel que :

• $\forall 1\leqslant i\leqslant n, \widetilde{\varphi}(X_{i})=b_{i}.$
• $\forall a\in A, \widetilde{\varphi}(a)=\varphi(a).$
  Ce morphisme est appelé morphisme d’évaluation prologeant $\varphi$ ou simplement morphisme d’évaluation s’il n’y a pas d’ambiguïté. On le note $\widetilde{\varphi}=\mathrm{ev}_{X_{1}\to b_{1},\dots,X_{n}\to b_{n}}$.

Exemples

• Soit $P\in\mathbb{Z}[X]$ un polynôme à coefficients entiers et $A$ un anneau quelconque. Il semblerait naturel de pouvoir voir ce polynôme comme un polynôme de $A[X]$ en considérant chacun de ses coefficients $a$ comme $\underbrace{1_{A}+\cdots+1_{A}}_{a\text{ fois}}\in A$.
  Pour cela on considère l’unique morphisme d’anneaux $f\colon \mathbb{Z}\to A$ (celui-là même qui permet de définir la caractéristique de $A$) suivi de l’injection naturelle $g\colon A\to A[X]$. Ceci nous fournit un morphisme d’anneau $\varphi=g\circ f\colon \mathbb{Z}\to B=A[X]$. On pose alors $\widetilde{\varphi}=\mathrm{ev}_{X\to X}\colon\mathbb{Z}[X]\rightarrow A[X]$. Ce morphisme vérifie
  $$\widetilde{\varphi}\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\right)=\sum_{k=0}^{n}\underbrace{(1_{A}+\cdots+1_{A})}_{a_{k}\text{ fois}}X^{k}=\sum_{k=0}^{n}f(a_{k})X^{k}.$$

• On veut montrer qu’on a un isomorphisme d’anneaux $\mathbb{Z}[i]\simeq \mathbb{Z}[X]/\left<X^{2}+1\right>$ où $\mathbb{Z}[i]=\set{a+ib\mid (a,b)\in\mathbb{Z}^{2}}$ désigne l’ensemble des entiers de Gauss.
  On part du morphisme d’anneaux $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}[i]$ puis on l’étend en le morphisme d’évaluation $\widetilde{\varphi}=\mathrm{ev}_{X\to i}\colon \mathbb{Z}[X]\to\mathbb{Z}[i].$ Les éléments $\widetilde{\varphi}(1)=1$ et $\widetilde{\varphi}(X)=i$ engendrent le groupe $\mathbb{Z}[i]$ et sont dans l’image de $\widetilde{\varphi}$ donc $\widetilde{\varphi}$ est surjectif. De plus, on a $\widetilde{\varphi}(X^{2}+1)=\widetilde{\varphi}(X)^{2}+\widetilde{\varphi}(1)=i^{2}+1=0$ donc $\left<X^{2}+1\right>\subset\ker(\widetilde{\varphi})$. Réciproquement, si $P\in\mathbb{Z}[X]$ est dans le noyau de $\widetilde{\varphi}$. On pose $P=(X^{2}+1)Q+R$ la division euclidienne de $P$ par $X^{2}+1$ (qui existe bien qu’on ne soit pas à coefficients dans un corps car le coefficient dominant de $X^{2}+1$ est inversible dans $\mathbb{Z}$) de telle sorte que $R=a+bX$. On a alors $\widetilde{\varphi}(P)=\widetilde{\varphi}(X^{2}+1)\widetilde{\varphi}(Q)+\widetilde{\varphi}(R)=a+ib=0$ donc $a=b=0$ puis $R=0$ donc $P\in\left<X^{2}+1\right>.$ Par le théorème d’isomorphisme $\widetilde{\varphi}$ induit un isomorphisme
  $$\mathbb{Z}[X]/\left<X^{2}+1\right>\simeq \mathbb{Z}[i].$$