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#### Définition intuitive

Ce résultat nous permet de prolonger de façon polynômiale tout morphisme d'anneaux de façon assez intuitive. 

##### Définition formelle

Soient $n\in\mathbb{N},$ $\varphi\colon A\to B$ un morphisme d'anneaux et $b_{1},\dots,b_{n}$ des éléments de $B$. Alors il existe un unique morphisme d'anneaux
$$\widetilde{\varphi}\colon A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$$
tel que :
* $\forall 1\leqslant i\leqslant n, \widetilde{\varphi}(X_{i})=b_{i}.$
* $\forall a\in A, \widetilde{\varphi}(a)=\varphi(a).$
Ce morphisme est appelé *morphisme d'évaluation prologeant* $\varphi$ ou simplement *morphisme d'évaluation* s'il n'y a pas d'ambiguïté. On le note $\widetilde{\varphi}=\mathrm{ev}_{X_{1}\to b_{1},\dots,X_{n}\to b_{n}}$.

##### Exemples

- Soit $P\in\mathbb{Z}[X]$ un polynôme à coefficients entiers et $A$ un anneau quelconque. Il semblerait naturel de pouvoir voir ce polynôme comme un polynôme de $A[X]$ en considérant chacun de ses coefficients $a$ comme $\underbrace{1_{A}+\cdots+1_{A}}_{a\text{ fois}}\in A$.
Pour cela on considère l'unique morphisme d'anneaux $f\colon \mathbb{Z}\to A$ (celui-là même qui permet de définir la [[caracteristique-dun-anneau|caractéristique]] de $A$) suivi de l'injection naturelle $g\colon A\to A[X]$. Ceci nous fournit un morphisme d'anneau $\varphi=g\circ f\colon \mathbb{Z}\to B=A[X]$. On pose alors $\widetilde{\varphi}=\mathrm{ev}_{X\to X}\colon\mathbb{Z}[X]\rightarrow A[X]$. Ce morphisme vérifie
$$\widetilde{\varphi}\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\right)=\sum_{k=0}^{n}\underbrace{(1_{A}+\cdots+1_{A})}_{a_{k}\text{ fois}}X^{k}=\sum_{k=0}^{n}f(a_{k})X^{k}.$$
* On veut montrer qu'on a un isomorphisme d'anneaux $\mathbb{Z}[i]\simeq \mathbb{Z}[X]/\left<X^{2}+1\right>$ où $\mathbb{Z}[i]=\set{a+ib\mid (a,b)\in\mathbb{Z}^{2}}$ désigne l'ensemble des entiers de Gauss.
On part du morphisme d'anneaux $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}[i]$ puis on l'étend en le morphisme d'évaluation $\widetilde{\varphi}=\mathrm{ev}_{X\to i}\colon \mathbb{Z}[X]\to\mathbb{Z}[i].$ Les éléments $\widetilde{\varphi}(1)=1$ et $\widetilde{\varphi}(X)=i$ engendrent le groupe $\mathbb{Z}[i]$ et sont dans l'image de $\widetilde{\varphi}$ donc $\widetilde{\varphi}$ est surjectif. De plus, on a $\widetilde{\varphi}(X^{2}+1)=\widetilde{\varphi}(X)^{2}+\widetilde{\varphi}(1)=i^{2}+1=0$ donc $\left<X^{2}+1\right>\subset\ker(\widetilde{\varphi})$. Réciproquement, si $P\in\mathbb{Z}[X]$ est dans le noyau de $\widetilde{\varphi}$. On pose $P=(X^{2}+1)Q+R$ la division euclidienne de $P$ par $X^{2}+1$ (qui existe bien qu'on ne soit pas à coefficients dans un corps car le coefficient dominant de $X^{2}+1$ est inversible dans $\mathbb{Z}$) de telle sorte que $R=a+bX$. On a alors $\widetilde{\varphi}(P)=\widetilde{\varphi}(X^{2}+1)\widetilde{\varphi}(Q)+\widetilde{\varphi}(R)=a+ib=0$ donc $a=b=0$ puis $R=0$ donc $P\in\left<X^{2}+1\right>.$ Par le théorème d'isomorphisme $\widetilde{\varphi}$ induit un isomorphisme
$$\mathbb{Z}[X]/\left<X^{2}+1\right>\simeq \mathbb{Z}[i].$$