Caractéristique d’un anneau

Intuition

La caractéristique d’un anneau est le nombre de fois qu’il faut additionner l’élément neutre $1_{A}$ de la multiplication avec lui-même pour obtenir le neutre de l’addition, $0_{A}$.

Définition formelle

Soit $A$ un anneau unitaire. Il existe un unique morphisme d’anneaux
$$\varphi:\mathbb Z\longrightarrow A, \qquad n\longmapsto n\cdot 1_A.$$

Son noyau est un idéal de $\mathbb Z$, donc il existe un unique entier $c\in\mathbb N$ tel que
$$\ker(\varphi)=c\mathbb Z.$$

L’entier $c$ est appelé la caractéristique de $A$ et est noté
$$\operatorname{car}(A)=c.$$

Exemples et remarques

• La caractéristique des anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est $n.$
• La caractéristique d’un corps est toujours soit $0$, soit un nombre premier $p$.
• Dans le cas où $K$ est un corps de caractéristique $p$ il admet toujours un sous-corps isomorphe à $\mathbb{F}_{p}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$
• Dans le cas où $K$ est un corps de caractéristique $0$ on peut étendre le morphisme $\varphi\colon \mathbb{Z}\to K$ alors injectif en un morphisme $\mathbb{Q}\to K$ (par la propriété universelle de la localisation car $\mathbb{Z}\setminus \set{0}$ est une partie multiplicative de $\mathbb{Z}$ envoyée sur des inversibles de $K$). Ceci, avec la remarque précédente, montre que tout corps admet un sous-corps isomorphe à $\mathbb{Q}$ ou un corps fini $\mathbb{F}_{p}.$