Caractéristique d'un anneau quotient (2)

Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$ . Déterminer la caractéristique des anneaux $A$ pour chaque anneau ci-dessous :

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Solution by 2doupi

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$<2X>$ ne contient pas de polynôme constant autre que 0. Donc aucune constante n’est envoyé sur 0 dans le quotient $\Z[X]/<2X>$ . Autrement dit la caractéristique est nulle.
$<2,X>$ contient l’ensemble des polynômes à coefficient constant pair. En particulier 2 mais pas 1. Donc la caractéristique est 2.
$3A$ contient les classes des multiples de 3 comme 3 divise 15. $3A=\{ \overline{0},\overline{3},\overline{6},\overline{9},\overline{12}\}$ . Donc la caractéristique est 3.
$\overline{2}\times\overline{8}=\overline{16}=\overline{1}$ , Donc $\overline{1}\in 2A$ . Donc le quotient est de caractérisique 1.
$2=(1+i)(1-i)$ , Or les seuls éléments inversibles de $\Z[i]$ sont $\pm1,\pm i$ et pas $1+i$ .
Donc 1 n’appartient pas à $<1+i>$ . La caractéristique est 2.

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