Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Caractéristique d’un anneau quotient (2)

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Solution by 2doupi · FR

  1. <2X><2X> ne contient pas de polynôme constant autre que 0. Donc aucune constante n’est envoyé sur 0 dans le quotient Z[X]/<2X>\Z[X]/<2X>. Autrement dit la caractéristique est nulle.
  2. <2,X><2,X> contient l’ensemble des polynômes à coefficient constant pair. En particulier 2 mais pas 1. Donc la caractéristique est 2.
  3. 3A3A contient les classes des multiples de 3 comme 3 divise 15. 3A={0‾,3‾,6‾,9‾,12‾}3A=\{ \overline{0},\overline{3},\overline{6},\overline{9},\overline{12}\}. Donc la caractéristique est 3.
  4. 2‾×8‾=16‾=1‾\overline{2}\times\overline{8}=\overline{16}=\overline{1}, Donc 1‾∈2A\overline{1}\in 2A. Donc le quotient est de caractérisique 1.
  5. 2=(1+i)(1−i)2=(1+i)(1-i), Or les seuls éléments inversibles de Z[i]\Z[i] sont ±1,±i\pm1,\pm i et pas 1+i1+i.
    Donc 1 n’appartient pas à <1+i><1+i>. La caractéristique est 2.
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  1. · 2doupi

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  2. · 2doupi

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FiniteFieldbyFR

Ne vouliez vous pas dire que la caractéristique est nulle pour le 1) ?

2doupibyFR

Oui tout à fait j’ai confondu la caractéristique avec l’ordre de 1 dans l’anneau.