Ivan Shishkin, Birch Grove

Caractéristique d’un anneau

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Revision 5531

9/21/2026, 7:27:01 PM · Ancient Tree

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titleCaractéristique d’un anneau et corps premierCaractéristique d’un anneau
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1##### Intuition
2
3La caractéristique d'un [[anneau|anneau]] est le nombre de fois qu'il faut additionner l'élément neutre $1_{A}$ de la multiplication avec lui-même pour obtenir le neutre de l'addition, $0_{A}$.
4
1##### Définition formelle
2
3Soit $A$ un [[anneau unitaire|anneau unitaire]]. Il existe un unique [[morphisme d'anneaux|morphisme d'anneaux]] $\varphi\colon \mathbb{Z}\to A.$ Son noyau est un idéal de $\mathbb{Z}$ de la forme $c\mathbb{Z}$ pour un unique $c\in\mathbb{N}.$ Cet entier $c$ est appelé *caractéristique* de $A$.
7Soit $A$ un [[anneau unitaire|anneau unitaire]]. Il existe un unique [[morphisme d'anneaux|morphisme d'anneaux]]
8$$
9\varphi:\mathbb Z\longrightarrow A,
10\qquad
11n\longmapsto n\cdot 1_A.
12$$
4
5Par la [[propriété universelle du quotient|propriété universelle du quotient]], $\varphi$ induit un morphisme injectif $\widetilde{\varphi}\colon \mathbb{Z}/c\mathbb{Z}\hookrightarrow A$ qui permet de munir $A$ d'une structure de $\mathbb{Z}/c\mathbb{Z}$-[[module-sur-un-anneau|module]]. L'image de $\widetilde{\varphi}$ dans $A$ est appelé *sous-anneau premier* de $A$ et c'est un sous-anneau de $A$ isomorphe à $\mathbb{Z}/c\mathbb{Z}$.
14Son noyau est un [[idéal|idéal]] de $\mathbb Z$, donc il existe un unique entier $c\in\mathbb N$ tel que
15$$
16\ker(\varphi)=c\mathbb Z.
17$$
6
19L'entier $c$ est appelé la caractéristique de $A$ et est noté
20$$
21\operatorname{car}(A)=c.
22$$
23
7##### Exemples et remarques
8
9* La caractéristique des anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est $n.$
10* La caractéristique d'un corps est toujours soit $0$ soit $p$ un [[nombre-premier|nombre premier]] car sinon il admettrait un sous-anneau contenant des diviseurs de $0.$
27* La caractéristique d'un corps est toujours soit $0$, soit un [[nombre-premier|nombre premier]] $p$.
11* Dans le cas où $K$ est un corps de caractéristique $p$ il admet toujours un sous-corps isomorphe à $\mathbb{F}_{p}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$
12* Dans le cas où $K$ est un corps de caractéristique $0$ on peut étendre le morphisme $\varphi\colon \mathbb{Z}\to K$ alors injectif en un morphisme $\mathbb{Q}\to K$ (par la [[propriété universelle de la localisation|propriété universelle de la localisation]] car $\mathbb{Z}\setminus \set{0}$ est une partie multiplicative de $\mathbb{Z}$ envoyée sur des inversibles de $K$). Ceci, avec la remarque précédente, montre que tout corps admet un sous-corps isomorphe à $\mathbb{Q}$ ou un corps fini $\mathbb{F}_{p}.$

Revision 5526

9/21/2026, 6:46:44 PM · FiniteField

Added exercise "Morphisme d'anneau et caractéristique"

linked exercisesCaractéristique d’un anneau, Caractéristique d’un anneau quotient (2), Caractéristique d’un anneau quotient (3)Caractéristique d’un anneau (1), Caractéristique d’un anneau quotient (2), Caractéristique d’un anneau quotient (3), Morphisme d’anneau et caractéristique

Revision 5431

9/20/2026, 11:20:30 AM · FiniteField

Added exercise "Caractéristique d'un anneau quotient (3)"

linked exercisesCaractéristique d’un anneau, Caractéristique d’un anneau quotient (2)Caractéristique d’un anneau, Caractéristique d’un anneau quotient (2), Caractéristique d’un anneau quotient (3)

Revision 5427

9/20/2026, 11:10:13 AM · FiniteField

Added exercise "Caractéristique d'un anneau quotient (2)"

linked exercisesCaractéristique d’un anneauCaractéristique d’un anneau, Caractéristique d’un anneau quotient (2)

Revision 5423

9/20/2026, 10:44:19 AM · FiniteField

Added exercise "Caractéristique d'un anneau"

linked exercisesNoneCaractéristique d’un anneau

Revision 5422

9/20/2026, 10:40:01 AM · FiniteField

Concept created

##### Définition formelle

Soit $A$ un [[anneau unitaire|anneau unitaire]]. Il existe un unique [[morphisme d'anneaux|morphisme d'anneaux]] $\varphi\colon \mathbb{Z}\to A.$ Son noyau est un idéal de $\mathbb{Z}$ de la forme $c\mathbb{Z}$ pour un unique $c\in\mathbb{N}.$ Cet entier $c$ est appelé *caractéristique* de $A$.

Par la [[propriété universelle du quotient|propriété universelle du quotient]], $\varphi$ induit un morphisme injectif $\widetilde{\varphi}\colon \mathbb{Z}/c\mathbb{Z}\hookrightarrow A$ qui permet de munir $A$ d'une structure de $\mathbb{Z}/c\mathbb{Z}$-[[module-sur-un-anneau|module]]. L'image de $\widetilde{\varphi}$ dans $A$ est appelé *sous-anneau premier* de $A$ et c'est un sous-anneau de $A$ isomorphe à $\mathbb{Z}/c\mathbb{Z}$.

##### Exemples et remarques

* La caractéristique des anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est $n.$
* La caractéristique d'un corps est toujours soit $0$ soit $p$ un [[nombre-premier|nombre premier]] car sinon il admettrait un sous-anneau contenant des diviseurs de $0.$
* Dans le cas où $K$ est un corps de caractéristique $p$ il admet toujours un sous-corps isomorphe à $\mathbb{F}_{p}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$
* Dans le cas où $K$ est un corps de caractéristique $0$ on peut étendre le morphisme $\varphi\colon \mathbb{Z}\to K$ alors injectif en un morphisme $\mathbb{Q}\to K$ (par la [[propriété universelle de la localisation|propriété universelle de la localisation]] car $\mathbb{Z}\setminus \set{0}$ est une partie multiplicative de $\mathbb{Z}$ envoyée sur des inversibles de $K$). Ceci, avec la remarque précédente, montre que tout corps admet un sous-corps isomorphe à $\mathbb{Q}$ ou un corps fini $\mathbb{F}_{p}.$