Propriété universelle du quotient de groupes

Propriété universelle du quotient de groupes

Soit $f\colon G\to G'$ un morphisme de groupes et $H$ un sous-groupe de $\ker(f)$ normal dans $G$. Alors il existe un unique morphisme de groupes $\widetilde{f}\colon G/H\to G'$ tel que $\widetilde{f}\circ \pi=f.$

De plus $\ker(\widetilde{f})=\pi(\ker(f))$ et $\mathrm{im}(\widetilde{f})=\mathrm{im}(f).$

Exemples

• En reprenant les notations du théorème on a un isomorphisme de groupes
  $$G/\ker(f)\simeq \mathrm{im}(f).$$Ce résultat est souvent appelé théorème d’isomorphisme.

• Soient $n,m$ deux entiers tels que $n\mid m$, i.e. $m\mathbb{Z}\subset n\mathbb{Z}.$ Alors, en appliquant la propriété universelle du quotient à l’application canonique $f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},k\mapsto \overline{k}$ on obtient le morphisme
  $$\widetilde{f}\colon \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\overline{k}\mapsto \overline{k}.$$(le premier $\overline{k}$ étant la classe de $k$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ et l’autre dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$).

• On considère $p$ un nombre premier impair, $q=p^{s}$ et $\mathbb{F}_{q}$ le corps fini à $q$ élément. Le noyau du morphisme $f\colon x\in \mathbb{F}_{q}^\times\mapsto x^{2}\in\mathbb{F}_{q}^{\times}$ est exactement $\set{-1,1}$ si bien que, par le théorème d’isomorphisme on a $\#\mathrm{im}(f)=\#\mathbb{F}_{q}/\set{-1,1}$ ce qui prouve que le nombre de carrés non nuls dans $\mathbb{F}_{q}$ est exactement $\dfrac{q-1}{2}.$