Propriété universelle de la localisation

Propriété universelle de la localisation

Soit $f\colon A\to B$ un morphisme d’anneaux et $S$ une partie multiplicative de $A$ telle que $f(S)\subset B^{\times}$ ($f$ envoie les éléments de $S$ sur des inversibles de $B$). Alors il existe un unique morphisme d’anneaux $\widetilde{f}\colon S^{-1}A\to B$ tel que $f=\widetilde{f}\circ \ell_{S}$ où $\ell_{S}\colon A\to S^{-1}A$ est le morphisme canonique.

Exemples

• On considère $p$ un nombre premier et $f\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ le morphisme canonique. La partie $S=\mathbb{Z}\setminus p\mathbb{Z}$ est une partie multiplicative de $\mathbb{Z}$ et $f(S)\subset (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ donc on peut étendre $f$ en $\widetilde{f}\colon S^{-1}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ par la propriété universelle de la localisation. Remarquons que $S^{-1}\mathbb{Z}$ peut alors être vu comme l’ensemble des rationnels dont le dénominateur n’est pas divisible par $p.$