Propriété universelle du quotient d’anneaux
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Revision 6474
10/3/2026, 12:24:33 AM · FiniteField
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##### Définition intuitive2
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On veut pouvoir factoriser des morphismes d'anneaux comme [[propriete-universelle-du-quotient-de-groupes|on sait déjà le faire]] pour des groupes.4
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##### Propriété universelle du quotient d'anneaux6
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Soient $f\colon A\to B$ un morphisme d'anneaux et $I\subset \ker(f)$ un [[ideal-fr|idéal]]. Alors il existe un unique morphisme d'anneaux $\widetilde{f}\colon A/I\to B$ tel que $f=\widetilde{f}\circ \pi$ où $\pi\colon A\to A/I$ est la projection canonique.7
Soient $f\colon A\to B$ un [[morphisme d'anneaux|morphisme d'anneaux]] et $I\subset \ker(f)$ un [[ideal-fr|idéal]]. Alors il existe un unique morphisme d'anneaux $\widetilde{f}\colon A/I\to B$ tel que $f=\widetilde{f}\circ \pi$ où $\pi\colon A\to A/I$ est la [[anneau-quotient|projection canonique]].8
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De plus $\ker(\widetilde{f})=\pi(\ker(f))$ et $\mathrm{im}(\widetilde{f})=\mathrm{im}(f).$10
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##### Exemples12
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- En appliquant la propriété à $\ker(f)$ on obtient le théorème d'isomorphisme qui dit que14
$$A/\ker(f)\simeq \mathrm{im}(f).$$Revision 6449
10/2/2026, 10:39:00 PM · FiniteField
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##### Définition intuitive
On veut pouvoir factoriser des morphismes d'anneaux comme [[propriete-universelle-du-quotient-de-groupes|on sait déjà le faire]] pour des groupes.
##### Propriété universelle du quotient d'anneaux
Soient $f\colon A\to B$ un morphisme d'anneaux et $I\subset \ker(f)$ un [[ideal-fr|idéal]]. Alors il existe un unique morphisme d'anneaux $\widetilde{f}\colon A/I\to B$ tel que $f=\widetilde{f}\circ \pi$ où $\pi\colon A\to A/I$ est la projection canonique.
De plus $\ker(\widetilde{f})=\pi(\ker(f))$ et $\mathrm{im}(\widetilde{f})=\mathrm{im}(f).$
##### Exemples
- En appliquant la propriété à $\ker(f)$ on obtient le théorème d'isomorphisme qui dit que
$$A/\ker(f)\simeq \mathrm{im}(f).$$