Antilinéarisation de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$

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Revision 7136

10/13/2026, 1:25:15 PM · SalixBabylonica

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1##### But

2Soient $n\in\mathbb N$.

On souhaite exprimer $\cos(n\theta)$ ( resp $\sin(n\theta)$) comme un polynôme en $\cos(\theta)$ ( resp comme le produit d'un polynôme en $\cos(\theta)$ par $\sin(\theta)$.

Pour obtenir ces formules d'antilinéarisation, l'idée est d'utiliser, dans un premier temps, la [[formule de Moivre]], puis dans un second temps, de développer à l'aide de la formule du [[Binôme de Newton | binome de Newton]]. Finalement, il se peut qu'il reste des éléments de la forme $\sin^{2q}(\theta)$ qui devront être transformés à l'aide de la [[relation fondamentale de la trigonométrie]].

7##### Exemple

8On souhaite antilinéariser $\sin(5\theta)$. On procède alors de la manière suivante :

9\[ \begin{aligned}

10\sin(5\theta) &

11= \Im\!\left((\cos\theta+i\sin\theta)^5\right) \\ &

11= \Im\!\left((\cos\theta+i\sin\theta)^5\right) \qquad\text{(formule de Moivre)} \\ &

= \Im\!\Bigl( \cos^5\theta +5i\cos^4\theta\sin\theta -10\cos^3\theta\sin^2\theta -10i\cos^2\theta\sin^3\theta \\ &\qquad\qquad +5\cos\theta\sin^4\theta +i\sin^5\theta \Bigr) \qquad\text{(binôme de Newton)} \\ &

13= 5\cos^4\theta\sin\theta -10\cos^2\theta\sin^3\theta +\sin^5\theta \\ &

14= \sin\theta \Bigl( 5\cos^4\theta -10\cos^2\theta\sin^2\theta +\sin^4\theta \Bigr) \\ &

15= \sin\theta \Bigl( 5\cos^4\theta -10\cos^2\theta(1-\cos^2\theta) +(1-\cos^2\theta)^2 \Bigr) \\ &

16= \sin\theta \Bigl( 5\cos^4\theta -10\cos^2\theta +10\cos^4\theta +1 -2\cos^2\theta +\cos^4\theta \Bigr) \\ &

17= \sin\theta \Bigl( 16\cos^4\theta -12\cos^2\theta +1 \Bigr).

18\end{aligned} \]

Revision 7135

10/13/2026, 1:24:18 PM · SalixBabylonica

Concept created

##### But
Soient \(n\in\mathbb N\). 
On souhaite exprimer $\cos(n\theta)$ ( resp $\sin(n\theta)$) comme un polynôme en $\cos(\theta)$ ( resp comme le produit d'un polynôme en $\cos(\theta)$ par $\sin(\theta)$.

Pour obtenir ces formules d'antilinéarisation, l'idée est d'utiliser, dans un premier temps, la [[formule de Moivre]], puis dans un second temps, de développer à l'aide de la formule du [[Binôme de Newton | binome de Newton]]. Finalement, il se peut qu'il reste des éléments de la forme $\sin^{2q}(\theta)$ qui devront être transformés à l'aide de la [[relation fondamentale de la trigonométrie]].

##### Exemple
On souhaite antilinéariser $\sin(5\theta)$. On procède alors de la manière suivante :
\[ \begin{aligned} 
\sin(5\theta) &
= \Im\!\left((\cos\theta+i\sin\theta)^5\right) \\ &
= \Im\!\Bigl( \cos^5\theta +5i\cos^4\theta\sin\theta -10\cos^3\theta\sin^2\theta -10i\cos^2\theta\sin^3\theta \\ &\qquad\qquad +5\cos\theta\sin^4\theta +i\sin^5\theta \Bigr) \qquad\text{(binôme de Newton)} \\ &
= 5\cos^4\theta\sin\theta -10\cos^2\theta\sin^3\theta +\sin^5\theta \\ &
= \sin\theta \Bigl( 5\cos^4\theta -10\cos^2\theta\sin^2\theta +\sin^4\theta \Bigr) \\ &
= \sin\theta \Bigl( 5\cos^4\theta -10\cos^2\theta(1-\cos^2\theta) +(1-\cos^2\theta)^2 \Bigr) \\ &
= \sin\theta \Bigl( 5\cos^4\theta -10\cos^2\theta +10\cos^4\theta +1 -2\cos^2\theta +\cos^4\theta \Bigr) \\ &
= \sin\theta \Bigl( 16\cos^4\theta -12\cos^2\theta +1 \Bigr). 
\end{aligned} \]