Antilinéarisation de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$

But

Soient $n\in\mathbb N$.
On souhaite exprimer $\cos(n\theta)$ ( resp $\sin(n\theta)$) comme un polynôme en $\cos(\theta)$ ( resp comme le produit d’un polynôme en $\cos(\theta)$ par $\sin(\theta)$.

Pour obtenir ces formules d’antilinéarisation, l’idée est d’utiliser, dans un premier temps, la formule de Moivre, puis dans un second temps, de développer à l’aide de la formule du binome de Newton. Finalement, il se peut qu’il reste des éléments de la forme $\sin^{2q}(\theta)$ qui devront être transformés à l’aide de la relation fondamentale de la trigonométrie.

Exemple

On souhaite antilinéariser $\sin(5\theta)$. On procède alors de la manière suivante :
$$\begin{aligned} \sin(5\theta) & = \Im\!\left((\cos\theta+i\sin\theta)^5\right) \qquad\text{(formule de Moivre)} \\ & = \Im\!\Bigl( \cos^5\theta +5i\cos^4\theta\sin\theta -10\cos^3\theta\sin^2\theta -10i\cos^2\theta\sin^3\theta \\ &\qquad\qquad +5\cos\theta\sin^4\theta +i\sin^5\theta \Bigr) \qquad\text{(binôme de Newton)} \\ & = 5\cos^4\theta\sin\theta -10\cos^2\theta\sin^3\theta +\sin^5\theta \\ & = \sin\theta \Bigl( 5\cos^4\theta -10\cos^2\theta\sin^2\theta +\sin^4\theta \Bigr) \\ & = \sin\theta \Bigl( 5\cos^4\theta -10\cos^2\theta(1-\cos^2\theta) +(1-\cos^2\theta)^2 \Bigr) \\ & = \sin\theta \Bigl( 5\cos^4\theta -10\cos^2\theta +10\cos^4\theta +1 -2\cos^2\theta +\cos^4\theta \Bigr) \\ & = \sin\theta \Bigl( 16\cos^4\theta -12\cos^2\theta +1 \Bigr). \end{aligned}$$