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##### Intuition

Une application entre deux [[variete-differentiable|variétés différentiables]] est dite différentiable lorsque, exprimée dans des [[carte-locale|coordonnées locales]], elle est différentiable au sens habituel de l'analyse.

Grâce à la compatibilité des cartes, cette propriété ne dépend pas du choix des coordonnées.

##### Définition formelle

Soient $M$ et $N$ deux [[variete-differentiable|variétés différentiables]] de classe $C^k$, et soit $f\colon M\to N$ une application.

On dit que $f$ est de classe $C^r$, avec $0\leq r\leq k$, si, pour tout $p\in M$, il existe des [[carte-locale|cartes locales]] $(U,\varphi)$ de $M$ et $(V,\psi)$ de $N$, avec $p\in U$ et $f(U)\subseteq V$, telles que
$$
\psi\circ f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\to\psi(V)
$$
soit de classe $C^r$.