Application différentiable entre variétés

Intuition

Une application entre deux variétés différentiables est dite différentiable lorsque, exprimée dans des coordonnées locales, elle est différentiable au sens habituel de l’analyse.

Grâce à la compatibilité des cartes, cette propriété ne dépend pas du choix des coordonnées.

Définition formelle

Soient $M$ et $N$ deux variétés différentiables de classe $C^k$, et soit $f\colon M\to N$ une application.

On dit que $f$ est de classe $C^r$, avec $0\leq r\leq k$, si, pour tout $p\in M$, il existe des cartes locales $(U,\varphi)$ de $M$ et $(V,\psi)$ de $N$, avec $p\in U$ et $f(U)\subseteq V$, telles que
$$\psi\circ f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\to\psi(V)$$soit de classe $C^r$.