Application induite sur le groupe fondamental
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Revision 6571
10/3/2026, 9:06:32 PM · Ancient Tree
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Revision 6570
10/3/2026, 8:59:04 PM · Ancient Tree
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##### Intuition2
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Une [[continuite|application continue]] $f:X \rightarrow Y$ transforme tout lacet de $X$ en un lacet de $Y$.3
Une [[continuite|application continue]] $f:X \rightarrow Y$ transforme tout [[lacet-dun-espace|lacet]] de $X$ en un lacet de $Y$.4
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De plus, des lacets dans $X$ restent homotopes après composition par $f$. Ainsi, $f$ agit naturellement sur les [[Classe d'homotopie|classes d’homotopie]] de lacets, et donc sur le [[groupe-fondamental|groupe fondamental]].6
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##### Définition formelle8
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Soient $X$ et $Y$ deux [[espace-topologique|espaces topologiques]], $x_{0}\in X$, et $f:X \rightarrow Y$ une [[continuite|application continue]].10
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L'application induite par $f$ sur le groupe fondamental est l'application :12
$$f_{*}:\pi_{1}(X,x_{0})\rightarrow \pi_{1}(Y,f(x_{0}))$$13
définie comme $f_{*}([\gamma])=[f\circ \gamma]$ pour tout lacet $\gamma$ de $X$ basé en $x_{0}$.14
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##### Remarques 16
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- Cette application est bien définie.18
- Il s'agit d'un morphisme de groupes.Revision 6569
10/3/2026, 8:58:21 PM · Ancient Tree
Concept created
##### Intuition
Une [[continuite|application continue]] $f:X \rightarrow Y$ transforme tout lacet de $X$ en un lacet de $Y$.
De plus, des lacets dans $X$ restent homotopes après composition par $f$. Ainsi, $f$ agit naturellement sur les [[Classe d'homotopie|classes d’homotopie]] de lacets, et donc sur le [[groupe-fondamental|groupe fondamental]].
##### Définition formelle
Soient $X$ et $Y$ deux [[espace-topologique|espaces topologiques]], $x_{0}\in X$, et $f:X \rightarrow Y$ une [[continuite|application continue]].
L'application induite par $f$ sur le groupe fondamental est l'application :
$$f_{*}:\pi_{1}(X,x_{0})\rightarrow \pi_{1}(Y,f(x_{0}))$$
définie comme $f_{*}([\gamma])=[f\circ \gamma]$ pour tout lacet $\gamma$ de $X$ basé en $x_{0}$.
##### Remarques
- Cette application est bien définie.
- Il s'agit d'un morphisme de groupes.