Application induite sur le groupe fondamental

Intuition

Une application continue $f:X \rightarrow Y$ transforme tout lacet de $X$ en un lacet de $Y$.

De plus, des lacets dans $X$ restent homotopes après composition par $f$. Ainsi, $f$ agit naturellement sur les classes d’homotopie de lacets, et donc sur le groupe fondamental.

Définition formelle

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, $x_{0}\in X$, et $f:X \rightarrow Y$ une application continue.

L’application induite par $f$ sur le groupe fondamental est l’application :
$$f_{*}:\pi_{1}(X,x_{0})\rightarrow \pi_{1}(Y,f(x_{0}))$$définie comme $f_{*}([\gamma])=[f\circ \gamma]$ pour tout lacet $\gamma$ de $X$ basé en $x_{0}$.

Remarques

• Cette application est bien définie.
• Il s’agit d’un morphisme de groupes.