Application induite par une application constante

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Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques.
On considère une application constante $f:X\rightarrow Y$ et $x_{0}\in X$ .

Déterminer l'application induite sur le groupe fondamental par $f$ .

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Solution by Ancient Tree

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Par définition, il s’agit de l’application
$f_{*}:\pi_{1}(X,x_{0})\rightarrow \pi_{1}(Y,f(x_{0}))$ définie comme $f_{*}[\gamma]=[f\circ \gamma]$ pour tout lacet $\gamma$ basé en $x_{0}$ .

Or, comme $f$ est constante, alors $f\circ \gamma$ est le lacet constant égal à $f(x_{0})$ .

D’où $f_{*}$ est le morphisme trivial, envoyant toute classe d’homotopie $[\gamma]$ sur la classe triviale $[c_{f(x_{0})}]$ .

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