Application multilinéaire

Définition

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur un corps $\mathbb{K}$, et soit $p\in\mathbb{N}^*$. Soit
$$\varphi : E^p \longrightarrow F$$définie par
$$(x_1,\ldots,x_p) \longmapsto \varphi(x_1,\ldots,x_p).$$On dit que $\varphi$ est $\emph{p-linéaire}$ lorsque $\varphi$ est linéaire par rapport à chacune de ses variables. Autrement dit,
$$\forall i\in\llbracket 1,p\rrbracket, \quad \forall x_1,\ldots,x_p,x_i' \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbb{K},$$on a
$$\varphi(x_1,\ldots,\lambda x_i+x_i',\ldots,x_p) = \lambda\,\varphi(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_p) + \varphi(x_1,\ldots,x_i',\ldots,x_p).$$

Remarque

• Lorsque $F=\mathbb{K}$, on dit que $\varphi$ est une forme $p$-linéaire.