Application multilinéaire alternée

Définition intuitive

Une application $p$-linéaire alternée est une application $p$-linéaire qui « vaut $0$ » dès qu’au moins deux de ses arguments sont égaux.

Définition formelle

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur un corps $\mathbb{K}$, et soit
$$\varphi : E^p \longrightarrow F,$$une application $p$-linéaire. On dit que $\varphi$ est $\emph{alternée}$ lorsque
$$\forall (x_1,\ldots,x_p)\in E^p,$$dès qu’il existe deux indices distincts $i,j\in\llbracket 1,p\rrbracket$ tels que $x_i=x_j$, on a
$$\varphi(x_1,\ldots,x_p)=0.$$Autrement dit,
$$\varphi \text{ est alternée} \Longleftrightarrow \forall (x_1,\ldots,x_p)\in E^p,\, \forall i,j\in\llbracket 1,p\rrbracket, \; \big( i\neq j \land x_i=x_j \big)\Rightarrow \varphi(x_1,\ldots,x_p)=0.$$