Ivan Shishkin, Birch Grove

Borne supérieure

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cas général sans e

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1##### Introduction
2
3Pour un [[Intervalle|intervalle]] tel que $[0,1[$, on souhaite qualifier le nombre $1$ par rapport à cet intervalle.
4On vérifie que $1$ [[Majorant|majore]] $[0,1[$, mais $4$, $12.5$ majorent aussi $[0,1[$. $[0,1[$ n'admet pas un unique majorant. La question est, quelle est la différence entre $1$ et les autres majorants ? $1$ est-il le [[Plus grand élément|plus grand élément]] de $[0,1[$ ? Non, $1 \notin [0,1[$, par contre on peut dire que $1$ est le plus petit majorant. Et c'est cette idée de plus petit majorant qui nous amène à définir la notion de borne supérieure.
5
6##### Définition formelle
7- Cas des réels:
8Soit $A$ une [[Sous-ensemble|partie]] de $\mathbb{R}$. On dit que $a \in \mathbb{R}$ est une borne supérieure de $A$ si $a$ majore $A$ et que pour tout majorant $m$ de $A$, on a $a \le m$.
9
10Cette borne supérieure est unique et on la note $\sup A$.
11
12**Caractérisation avec des « epsilons » :**
13
14\[
15a = \sup A \iff \big(\forall x \in A,\ x \le a\big) \ \text{et}\ \big(\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in A,\ x > a - \varepsilon\big)
16\]
17
18**Explication.** La première condition dit simplement que $a$ majore $A$. La seconde traduit le fait que $a$ est le *plus petit* des majorants, via la chaîne d'équivalences suivante :
19
20\[
21\begin{aligned}
22a \text{ est le plus petit des majorants de } A
23&\iff \text{aucun réel } y < a \text{ n'est un majorant de } A \\
24&\iff \text{pour tout } \varepsilon > 0, \text{ le réel } a - \varepsilon \text{ n'est pas un majorant de } A \\
25&\iff \text{pour tout } \varepsilon > 0, \text{ il existe } x \in A \text{ tel que } x > a - \varepsilon
26\end{aligned}
27\]
28
29(La première équivalence reformule "$a$ est le plus petit majorant" en "tout ce qui est strictement plus petit que $a$ n'est pas majorant". La deuxième paramètre les réels $y < a$ sous la forme $y = a - \varepsilon$ avec $\varepsilon > 0$. La dernière est simplement la négation de "$a-\varepsilon$ majore $A$", à savoir qu'il existe un élément de $A$ qui lui échappe.)
30
31- Ces générale :
31- Ces général :
32Soit $(E, \preceq)$ un [[Ensemble ordonné|ensemble ordonné]]. Soit $A$ une [[Sous-ensemble|partie]] de $E$. On dit que $a \in E$ est une borne supérieure si $a$ majore $A$ et que pour tout majorant $m$ de $A$, on a $a \preceq m$.
33
34##### Remarques
35- Il existe des ensembles ordonnés $E$ et des parties $A$ de $E$ telles que $A$ n'admet pas de borne supérieure dans $E$.
36- Si $A$ admet un [[maximum]] $a$, alors $a$ est également la borne supérieure de $A$.
37- Toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$.
38
39##### Exemples
40- La borne supérieure de $[0,1[$ dans $\mathbb{R}$ est $1$.
41- L'ensemble $\{x \in \mathbb{Q}, x^{2} \le 2\}$ n'admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$.

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1##### Introduction
2
3Pour un [[Intervalle|intervalle]] tel que $[0,1[$, on souhaite qualifier le nombre $1$ par rapport à cet intervalle.
4On vérifie que $1$ [[Majorant|majore]] $[0,1[$, mais $4$, $12.5$ majorent aussi $[0,1[$. $[0,1[$ n'admet pas un unique majorant. La question est, quelle est la différence entre $1$ et les autres majorants ? $1$ est-il le [[Plus grand élément|plus grand élément]] de $[0,1[$ ? Non, $1 \notin [0,1[$, par contre on peut dire que $1$ est le plus petit majorant. Et c'est cette idée de plus petit majorant qui nous amène à définir la notion de borne supérieure.
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6##### Définition formelle
7- Cas des réels:
8Soit $A$ une [[Sous-ensemble|partie]] de $\mathbb{R}$. On dit que $a \in \mathbb{R}$ est une borne supérieure de $A$ si $a$ majore $A$ et que pour tout majorant $m$ de $A$, on a $a \le m$.
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10Cette borne supérieure est unique et on la note $\sup A$.
11
12**Caractérisation avec des « epsilons » :**
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14\[
15a = \sup A \iff \big(\forall x \in A,\ x \le a\big) \ \text{et}\ \big(\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in A,\ x > a - \varepsilon\big)
16\]
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18**Explication.** La première condition dit simplement que $a$ majore $A$. La seconde traduit le fait que $a$ est le *plus petit* des majorants, via la chaîne d'équivalences suivante :
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20\[
21\begin{aligned}
22a \text{ est le plus petit des majorants de } A
23&\iff \text{aucun réel } y < a \text{ n'est un majorant de } A \\
24&\iff \text{pour tout } \varepsilon > 0, \text{ le réel } a - \varepsilon \text{ n'est pas un majorant de } A \\
25&\iff \text{pour tout } \varepsilon > 0, \text{ il existe } x \in A \text{ tel que } x > a - \varepsilon
26\end{aligned}
27\]
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29(La première équivalence reformule "$a$ est le plus petit majorant" en "tout ce qui est strictement plus petit que $a$ n'est pas majorant". La deuxième paramètre les réels $y < a$ sous la forme $y = a - \varepsilon$ avec $\varepsilon > 0$. La dernière est simplement la négation de "$a-\varepsilon$ majore $A$", à savoir qu'il existe un élément de $A$ qui lui échappe.)
30
31- Ces générale :
32Soit $(E, \preceq)$ un [[Ensemble ordonné|ensemble ordonné]]. Soit $A$ une [[Sous-ensemble|partie]] de $E$. On dit que $a \in E$ est une borne supérieure si $a$ majore $A$ et que pour tout majorant $m$ de $A$, on a $a \preceq m$.
31
32##### Remarques
33- Il existe des ensembles ordonnés $E$ et des parties $A$ de $E$ telles que $A$ n'admet pas de borne supérieure dans $E$.
34- Si $A$ admet un [[maximum]] $a$, alors $a$ est également la borne supérieure de $A$.
35- Toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$.
36
37##### Exemples
38- La borne supérieure de $[0,1[$ dans $\mathbb{R}$ est $1$.
39- L'ensemble $\{x \in \mathbb{Q}, x^{2} \le 2\}$ n'admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$.

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1##### Introduction
2
3Pour un [[Intervalle|intervalle]] tel que $[0,1[$, on souhaite qualifier le nombre $1$ par rapport à cet intervalle.
4On vérifie que $1$ [[Majorant|majore]] $[0,1[$, mais $4$, $12.5$ majorent aussi $[0,1[$. $[0,1[$ n'admet pas un unique majorant. La question est, quelle est la différence entre $1$ et les autres majorants ? $1$ est-il le [[Plus grand élément|plus grand élément]] de $[0,1[$ ? Non, $0 \notin [0,1[$, par contre on peut dire que $1$ est le plus petit majorant. Et c'est cette idée de plus petit majorant qui nous amène à définir la notion de borne supérieure.
4On vérifie que $1$ [[Majorant|majore]] $[0,1[$, mais $4$, $12.5$ majorent aussi $[0,1[$. $[0,1[$ n'admet pas un unique majorant. La question est, quelle est la différence entre $1$ et les autres majorants ? $1$ est-il le [[Plus grand élément|plus grand élément]] de $[0,1[$ ? Non, $1 \notin [0,1[$, par contre on peut dire que $1$ est le plus petit majorant. Et c'est cette idée de plus petit majorant qui nous amène à définir la notion de borne supérieure.
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6##### Définition formelle
7
7- Cas des réels:
8Soit $(E, \preceq)$ un [[Ensemble ordonné|ensemble ordonné]]. Soit $A$ une [[Sous-ensemble|partie]] de $E$. On dit que $a \in E$ est une borne supérieure si $a$ majore $A$ et que pour tout majorant $m$ de $A$, on a $a \preceq m$.
8Soit $A$ une [[Sous-ensemble|partie]] de $\mathbb{R}$. On dit que $a \in \mathbb{R}$ est une borne supérieure de $A$ si $a$ majore $A$ et que pour tout majorant $m$ de $A$, on a $a \le m$.
9
10Cette borne supérieure est unique et on la note $\sup A$.
11
12**Caractérisation avec des « epsilons » :**
12
14\[
15a = \sup A \iff \big(\forall x \in A,\ x \le a\big) \ \text{et}\ \big(\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in A,\ x > a - \varepsilon\big)
16\]
17
18**Explication.** La première condition dit simplement que $a$ majore $A$. La seconde traduit le fait que $a$ est le *plus petit* des majorants, via la chaîne d'équivalences suivante :
19
20\[
21\begin{aligned}
22a \text{ est le plus petit des majorants de } A
23&\iff \text{aucun réel } y < a \text{ n'est un majorant de } A \\
24&\iff \text{pour tout } \varepsilon > 0, \text{ le réel } a - \varepsilon \text{ n'est pas un majorant de } A \\
25&\iff \text{pour tout } \varepsilon > 0, \text{ il existe } x \in A \text{ tel que } x > a - \varepsilon
26\end{aligned}
27\]
28
29(La première équivalence reformule "$a$ est le plus petit majorant" en "tout ce qui est strictement plus petit que $a$ n'est pas majorant". La deuxième paramètre les réels $y < a$ sous la forme $y = a - \varepsilon$ avec $\varepsilon > 0$. La dernière est simplement la négation de "$a-\varepsilon$ majore $A$", à savoir qu'il existe un élément de $A$ qui lui échappe.)
30
31
13##### Remarques
14- Ils existent des ensembles ordonnés $E$ et des parties $A$ de $E$ telles que $A$ n'admet pas de borne supérieure dans $E$.
33- Il existe des ensembles ordonnés $E$ et des parties $A$ de $E$ telles que $A$ n'admet pas de borne supérieure dans $E$.
15
34- Si $A$ admet un [[maximum]] $a$, alors $a$ est également la borne supérieure de $A$.
16##### Exemples
35- Toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$.
17
37##### Exemples
18- La borne supérieure de $[0,1[$ dans $\mathbb{R}$ est $1$.
19- L'ensemble $\{x \in \mathbb{Q}, x^{2} \le 2\}$ n'admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$.

Revision 4353

9/9/2026, 3:46:00 PM · darktoaster

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##### Introduction

Pour un [[Intervalle|intervalle]] tel que $[0,1[$, on souhaite qualifier le nombre $1$ par rapport à cet intervalle.
On vérifie que $1$ [[Majorant|majore]] $[0,1[$, mais $4$, $12.5$ majorent aussi $[0,1[$. $[0,1[$ n'admet pas un unique majorant. La question est, quelle est la différence entre $1$ et les autres majorants ? $1$ est-il le [[Plus grand élément|plus grand élément]] de $[0,1[$ ? Non, $0 \notin [0,1[$, par contre on peut dire que $1$ est le plus petit majorant. Et c'est cette idée de plus petit majorant qui nous amène à définir la notion de borne supérieure. 
 
##### Définition formelle

Soit $(E, \preceq)$ un [[Ensemble ordonné|ensemble ordonné]]. Soit $A$ une [[Sous-ensemble|partie]] de $E$. On dit que $a \in E$ est une borne supérieure si $a$ majore $A$ et que pour tout majorant $m$ de $A$, on a $a \preceq m$.

Cette borne supérieure est unique et on la note $\sup A$.


##### Remarques 
- Ils existent des ensembles ordonnés $E$ et des parties $A$ de $E$ telles que $A$ n'admet pas de borne supérieure dans $E$.
 
##### Exemples

- La borne supérieure de $[0,1[$ dans $\mathbb{R}$ est $1$.
- L'ensemble $\{x \in \mathbb{Q}, x^{2} \le 2\}$ n'admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$.