Borne supérieure

Introduction

Pour un intervalle tel que $[0,1[$, on souhaite qualifier le nombre $1$ par rapport à cet intervalle.
On vérifie que $1$ majore $[0,1[$, mais $4$, $12.5$ majorent aussi $[0,1[$. $[0,1[$ n’admet pas un unique majorant. La question est, quelle est la différence entre $1$ et les autres majorants ? $1$ est-il le plus grand élément de $[0,1[$ ? Non, $1 \notin [0,1[$, par contre on peut dire que $1$ est le plus petit majorant. Et c’est cette idée de plus petit majorant qui nous amène à définir la notion de borne supérieure.

Définition formelle

• Cas des réels:
  Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. On dit que $a \in \mathbb{R}$ est une borne supérieure de $A$ si $a$ majore $A$ et que pour tout majorant $m$ de $A$, on a $a \le m$.

Cette borne supérieure est unique et on la note $\sup A$.

Caractérisation avec des « epsilons » :

$$a = \sup A \iff \big(\forall x \in A,\ x \le a\big) \ \text{et}\ \big(\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in A,\ x > a - \varepsilon\big)$$

Explication. La première condition dit simplement que $a$ majore $A$. La seconde traduit le fait que $a$ est le plus petit des majorants, via la chaîne d’équivalences suivante :

$$\begin{aligned} a \text{ est le plus petit des majorants de } A &\iff \text{aucun réel } y < a \text{ n'est un majorant de } A \\ &\iff \text{pour tout } \varepsilon > 0, \text{ le réel } a - \varepsilon \text{ n'est pas un majorant de } A \\ &\iff \text{pour tout } \varepsilon > 0, \text{ il existe } x \in A \text{ tel que } x > a - \varepsilon \end{aligned}$$

(La première équivalence reformule "$a$ est le plus petit majorant" en "tout ce qui est strictement plus petit que $a$ n’est pas majorant". La deuxième paramètre les réels $y < a$ sous la forme $y = a - \varepsilon$ avec $\varepsilon > 0$. La dernière est simplement la négation de "$a-\varepsilon$ majore $A$", à savoir qu’il existe un élément de $A$ qui lui échappe.)

• Ces général :
  Soit $(E, \preceq)$ un ensemble ordonné. Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $a \in E$ est une borne supérieure si $a$ majore $A$ et que pour tout majorant $m$ de $A$, on a $a \preceq m$.

Remarques

• Il existe des ensembles ordonnés $E$ et des parties $A$ de $E$ telles que $A$ n’admet pas de borne supérieure dans $E$.
• Si $A$ admet un maximum $a$, alors $a$ est également la borne supérieure de $A$.
• Toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$.

Exemples

• La borne supérieure de $[0,1[$ dans $\mathbb{R}$ est $1$.
• L’ensemble $\{x \in \mathbb{Q}, x^{2} \le 2\}$ n’admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$.