Intervalle ouvert

Définition intuitive

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Dans $\mathbb{R}$ (l’ensemble des nombres réels) ou $\bar{\mathbb{R}}$ (la droite réelle achevée), les intervalles ouverts sont les intervalles qui ne contiennent pas leurs bornes inférieures et supérieures.

Définition formelle

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Dans $\mathbb{R}$ (resp. $\bar{\mathbb{R}}$), les intervalles ouverts sont exactement les intervalles qui sont ouverts dans $\mathbb{R}$ (resp. $\bar{\mathbb{R}}$).
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Dans $\mathbb{R}$ et $\bar{\mathbb{R}}$, les intervalles ouverts sont les intervalles de la forme :

• L'ensemble vide : $\emptyset$
• Les intervalles ouverts bornés : $]a,b[$ où $a < b$ sont des réels
• Les intervalles minorés non-majorés : $]a, +\infty[$ où $a \in \mathbb{R}$
• Les intervalles majorés non-minorés : $]-\infty, a[$ où $a \in \mathbb{R}$
• La droite réelle : $\mathbb{R} = ]-\infty , +\infty[$

On peut écrire tous ces intervalles comme cela : $]a,b[$ où $a$ et $b$ sont dans $\bar{\mathbb{R}}$. Dans le cas où $a \ge b$, $]a,b[ =\emptyset$