Borne inférieure

Introduction

Pour un intervalle tel que $]0,1]$, on souhaite qualifier le nombre $0$ par rapport à cet intervalle.
On vérifie que $0$ minore $]0,1]$, mais $-4$, $-12.5$ minorent aussi $]0,1]$. $]0,1]$ n’admet pas un unique minorant. La question est, quelle est la différence entre $0$ et les autres minorants ? $0$ est-il le plus petit élément de $]0,1]$ ? Non, $0 \notin ]0,1]$, par contre on peut dire que $0$ est le plus grand minorant. Et c’est cette idée de plus grand minorant qui nous amène à définir la notion de borne inférieure.

Définition formelle

Soit $(E, \preceq)$ un ensemble ordonné. Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $a \in E$ est une borne inférieure si $a$ minore $A$ et que pour tout minorant $m$ de $A$, on a $m \preceq a$.

Cette borne inférieure est unique et on la note $\inf A$.

Remarques

• Pour tout ensemble ordonné $E$ et toute partie $A$ de $E$, si $A$ admet une borne inférieure alors elle est unique.
• Par contre ils existent des ensembles ordonnés $E$ et des parties $A$ de $E$ telles que $A$ n’admet pas de borne inférieure dans $E$.

Exemples

• La borne inférieure de $]0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est $0$.
• L’ensemble $\{x \in \mathbb{Q}, -2 \le -x^{2}\}$ n’admet pas de borne inférieure dans $\mathbb{Q}$.