Lemme de la jauge de Minkowski

Une première remarque est que, par convexité de $W$, la relation $0<a\leq b$ entraine $aW \subset bW$. En particulier l’ensemble des $t > 0$ tels que $x \in tW$ est un intervalle.

Montrons que $j_{W}$ est bien définie. Si $x \in X$, par continuité de la loi externe, il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $0 <t < \varepsilon$, $tx \in W$. Ainsi, $x \in t^{-1}W$, l’intervalle sur lequel la borne inférieure est prise est non vide, et non borné à droite.

Montrons ensuite que $j_{W}$ est convexe. Il suffit de montrer que $j_{W}$ est sous-additive et positivement homogène. Soit $x,y \in X$. Pour $s > j_{W}(x)$ et $t > j_{W}(y)$, alors $x \in sW$ et $y \in tW$. On déduit de cela que $x+y \in tW + sW = (t+s)W$ (par convexité de $W$). Ainsi, $j_{W}(x+y) \leq j_{W}(x) +j_{W}(y)$. Pour l’homogénéité, soit $\lambda > 0$. Puisque $\lbrace t > 0 \mid \lambda x \in t W \rbrace = \lbrace t > 0 \mid x \in \lambda^{-1}tW\rbrace = \lambda \lbrace t > 0 \mid x \in tW\rbrace$, l’homogénéité s’ensuit. Ainsi $j_{W}$ est convexe.

Montrons que $j_{W}^{-1}([0,1[) = W$. D’une part, si $x \in W$, il existe un voisinage $V$ de $1$ dans $\mathbb{R}$ tel que pour tout $\lambda \in V$, $\lambda x \in W$. En particulier il existe $\lambda > 1$ tel que $x \in \lambda^{-1}W$, d’où que $j_{W}(x) < 1$. Si ensuite $j_{W}(x) < 1$, il existe $0 < t < 1$ tel que $x \in tW \subset W$, d’où que $j_{W}^{-1}([0,1[) = W$.

Montrons que $j_{W}$ est continue. On constate que pour $\varepsilon > 0$, $j_W(x) < \varepsilon$ si et seulement s’il existe $0 < \delta < \varepsilon$ tel que $x \in \delta W$, ce qui est une condition ouverte. Ainsi $j_{W}$ est continue en $0$. Si $x \in X$, $h \in X$, comme (en conséquence de l’inégalité triangulaire) $\lvert j_{W}(x) - j_{W}(x+h) \rvert \leq \mathrm{max}(j_{W}(h),j_{W}(-h))$, on déduit la continuité de $j_{W}$.