convexe

Définition intuitive

Une partie est convexe lorsqu’elle ne présente ni creux ni trou : chaque fois qu’on choisit deux de ses points, le segment qui les relie y reste entièrement contenu. Un disque, un cube, un demi-plan sont convexes ; un croissant de lune, un anneau, une étoile ne le sont pas. La condition est purement locale à deux points, et pourtant elle a des conséquences globales étonnamment fortes.

Définition formelle

Soit $E$ un espace vectoriel réel. Une partie $C\subseteq E$ est convexe si
$$\forall x,y\in C,\ \forall t\in[0,1],\qquad (1-t)x+ty\in C,$$c’est-à-dire si $[x,y]\subseteq C$ pour tous $x,y\in C$. L’ensemble vide et les singletons sont convexes par convention.

Combinaisons convexes. Une récurrence immédiate montre que $C$ est convexe si et seulement s’il est stable par combinaison convexe finie :
$$x_1,\dots,x_k\in C,\quad \lambda_i\geqslant 0,\quad \sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1\ \Longrightarrow\ \sum_{i=1}^{k}\lambda_ix_i\in C .$$

Enveloppe convexe. Une intersection quelconque de convexes est convexe ; l'enveloppe convexe $\operatorname{conv}(A)$ d’une partie $A$ est le plus petit convexe la contenant, et coïncide avec l’ensemble des combinaisons convexes finies d’éléments de $A$.

Théorème de Carathéodory. Si $\dim E=n$, tout point de $\operatorname{conv}(A)$ est combinaison convexe d’au plus $n+1$ points de $A$. Le nombre de termes nécessaires est donc borné par la dimension, indépendamment de $A$.

Exemples

1. Cas élémentaires. $\varnothing$, les singletons, $E$ tout entier, tout sous-espace affine, toute boule (ouverte ou fermée) pour n’importe quelle norme, tout demi-espace $\{f\leqslant\alpha\}$ défini par une forme linéaire.
2. Polytopes. L’enveloppe convexe d’un nombre fini de points : simplexe, cube, octaèdre. Le simplexe standard $\Delta_n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}:x_i\geqslant 0,\sum_ix_i=1\}$ paramètre les lois de probabilité sur $n+1$ états.
3. En algèbre linéaire. L’ensemble $\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})$ des matrices symétriques positives est un cône convexe fermé ; l’ensemble des matrices bistochastiques est un polytope dont les points extrémaux sont exactement les matrices de permutation (théorème de Birkhoff).
4. En analyse. La boule unité de $L^{p}$ est convexe pour $p\geqslant 1$, c’est l’inégalité de Minkowski. L’ensemble des fonctions croissantes sur $[0,1]$, celui des mesures de probabilité sur un compact, sont convexes.
5. Contre-exemple ($p<1$). Pour $0<p<1$, la « boule » $\{x\in\mathbb{R}^{2}:|x_1|^{p}+|x_2|^{p}\leqslant 1\}$ n’est pas convexe : les points $(1,0)$ et $(0,1)$ y sont, mais leur milieu $(\frac12,\frac12)$ vérifie $2\cdot 2^{-p}>1$. C’est pourquoi $\|\cdot\|_p$ n’est pas une norme dans ce régime.
6. Contre-exemple (réunion). $[0,1]\cup[2,3]$ dans $\mathbb{R}$, ou deux droites sécantes dans $\mathbb{R}^{2}$ : la stabilité par intersection ne se transporte pas à la réunion.
7. Contre-exemple (dimension infinie). Dans un espace de Banach, un convexe fermé borné n’a pas nécessairement de point extrémal : la boule unité de $c_0$ n’en possède aucun. Le théorème de Krein–Milman exige la compacité, non pas la simple fermeture bornée.