Convexité et connexité par arcs

Soit $n$ un entier naturel non-nul.

Montrer qu’un ensemble $X\subset\R^n$ convexe est nécessairement connexe par arcs. Que dire de la réciproque ?
On dit que $X\subset\R^n$ est convexe par morceaux si tout point de $X$ peut se relier à tout autre point de $X$ par une ligne brisée dans $X$ , c’est-à-dire par une fonction affine par morceaux.
Montrer que si $X$ est convexe par morceaux, alors il est connexe par arcs. A-t-on la réciproque ?

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Soit $X$ convexe et $x,y\in X$ . L’application
$\gamma:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}^{n},\qquad \gamma(t)=(1-t)x+ty,$ est continue et vérifie $\gamma(0)=x$ , $\gamma(1)=y$ . La convexité donne exactement $\gamma(t)\in X$ pour tout $t\in[0,1]$ . C’est donc un chemin de $x$ à $y$ tracé dans $X$ .
Si de plus $X\neq\varnothing$ , l’espace est connexe par arcs. Le cas $X=\varnothing$ est une question de convention : il est convexe mais exclu de la définition de la connexité par arcs.

La réciproque est fausse. Le cercle $S^{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}$ est connexe par arcs mais il n’est pas convexe : les points $(1,0)$ et $(-1,0)$ y sont, alors que leur milieu $(0,0)$ n’y est pas.

Soient $x,y\in X$ et $x=p_0,p_1,\dots,p_k=y$ les sommets successifs d’une ligne brisée contenue dans $X$ , c’est-à-dire $[p_{i-1},p_i]\subseteq X$ pour tout $i$ . Définissons $\gamma:[0,1]\to X$ en parcourant le $i$ -ième segment sur $\bigl[\frac{i-1}{k},\frac{i}{k}\bigr]$ :
$\gamma(t)=(i-kt)\,p_{i-1}+(kt-i+1)\,p_i\qquad\text{pour } t\in\Bigl[\frac{i-1}{k},\frac{i}{k}\Bigr].$ Chaque morceau est continu, et les deux définitions coïncident aux points de raccord $t=i/k$ , où elles valent toutes deux $p_i$ . Le recollement de fonctions continues sur un nombre fini de fermés recouvrant $[0,1]$ est continu, donc $\gamma$ est un chemin de $x$ à $y$ dans $X$ .
Autrement dit, une ligne brisée est un cas particulier de chemin, et la concaténation ne fait que reparamétrer les segments.

La réciproque est fausse, et le cercle en fournit à nouveau un contre-exemple. Il est connexe par arcs, mais il ne contient aucun segment non trivial : une droite affine rencontre $S^{1}$ en au plus deux points, puisque substituer une paramétrisation affine dans $x^{2}+y^{2}=1$ donne un polynôme de degré $2$ non nul en le paramètre. Un segment $[p,q]\subseteq S^{1}$ est donc infini et contenu dans un ensemble d’au plus deux points, ce qui force $p=q$ . Aucune ligne brisée non triviale ne peut ainsi être tracée dans $S^{1}$ .

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