Espace vectoriel topologique

Définition intuitive

Les espaces vectoriels normés sont naturellement munis d’une topologie : la norme permet de définir une notion de distance, donc de parler de convergence, de continuité, de voisinages, etc.

Mais une norme n’est pas toujours nécessaire. On peut plus généralement munir directement un espace vectoriel d’une topologie, à condition que celle-ci soit compatible avec les opérations vectorielles : additionner deux vecteurs ou multiplier un vecteur par un scalaire doit rester une opération continue.

Définition formelle

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$, muni d’une topologie. On dit que $E$ est un espace vectoriel topologique si les applications :
$$\begin{aligned} E\times E &\longrightarrow E, &(x,y)&\longmapsto x+y,\ \mathbb K\times E &\longrightarrow E, &(\lambda,x)&\longmapsto \lambda x \end{aligned}$$sont continues pour cette topologie.