Topologie faible

Définition intuitive

Dans les espaces vectoriels de dimension infinie, certaines suites ne convergent pas pour la norme (ce qu’on appelle convergence forte), mais on aimerait tout de même pouvoir dire qu’elles convergent dans un sens plus faible.
Par exemple, dans l’espace des suites de carré sommable $\ell^{2}$, on prend la suite
$$e_{n}=(0,\ldots,0,1,0,\ldots)\quad \text{avec le 1 à la position }n.$$Il paraît naturel de dire que cette suite tend, d’une certaine manière, vers la suite nulle : pour tout $k\in \N$, à partir d’un certain rang, la $k$-ième coordonnée est nulle. Or, on a que sa norme est constante :
$$\forall n\in \N,\|e_{n}\|=1$$et donc la suite ne peut pas converger fortement.

On pourrait alors essayer de définir une convergence plus faible en demandant simplement que toutes les coordonnées convergent. Cependant, les coordonnées dépendent du choix d’une base et ne constituent donc pas une notion intrinsèque à l’espace.

On les remplace alors par un objet plus général : les formes linéaires continues. On dira qu’une suite converge faiblement lorsque toutes les formes linéaires continues « voient » cette suite converger.

Définition formelle

Soit $E$ un espace vectoriel topologique et $E'$ son dual topologique.
La topologie faible sur $E$, notée
$$\sigma(E,E'),$$est la topologie la moins fine sur $E$ pour laquelle tous les éléments de $E'$ sont continus.

Remarques

• Lorsqu’une suite $(x_n)$ converge vers $x$ dans cette topologie, on dit que $x_{n}$ converge faiblement vers $x$, et on note $x_{n}\rightharpoonup x$. Autrement dit :
  $$x_n \rightharpoonup x \quad\Longleftrightarrow\quad \forall f\in E',\quad f(x_n)\longrightarrow f(x).$$